Calcule a massa de um arame fino com o formato da hélice , sent, , se a função densidade for , com .

Passo 1

Vamos calcular a massa de um arame que tem o formato de uma hélice definida pelas equações paramétricas , e , onde varia de a . O conteúdo que vamos utilizar aqui é o Cálculo de integrais de linha para determinar a massa de objetos com densidade variável ao longo de uma curva.

Passo 2

Primeiro, precisamos entender como calcular a massa de um arame com densidade variável. A massa é dada pela integral da densidade ao longo do comprimento do arame:
Onde é o elemento de comprimento ao longo da curva.

Passo 3

Vamos determinar o elemento de comprimento . Para uma curva definida parametricamente por , e , o é dado por:

Passo 4

Calculando as derivadas das funções paramétricas:

Passo 5

Substituindo as derivadas na expressão de :
Simplificando:

Passo 6

Agora, substituímos e a função de densidade na integral da massa:
Simplificando:

Passo 7

Para resolver a integral, fazemos a substituição , o que implica . Os limites de integração mudam para e :

Passo 8

A integral é uma forma padrão que resulta em:
Aplicando os limites de integração:
Como :

Resposta

A massa do arame é .

Exercícios relacionados

Calcule a integral de linha em relação a s ao longo da curva .

Calcule, em cada parte, a integral de linha ao longo de ,
C é o arco parabólico de até .
Seja C a curva representada pelas equações
Calcule, em cada parte, a integral de linha ao longo de .
Calcule a integral de linha ao longo da curva .