Calcule a massa de um arame fino com o formato da hélice
,
sent,
, se a função densidade for
, com
.
Passo 1
Vamos calcular a massa de um arame que tem o formato de uma hélice definida pelas equações paramétricas
,
e
, onde
varia de
a
. O conteúdo que vamos utilizar aqui é o Cálculo de integrais de linha para determinar a massa de objetos com densidade variável ao longo de uma curva.
Passo 2
Primeiro, precisamos entender como calcular a massa de um arame com densidade variável. A massa
é dada pela integral da densidade
ao longo do comprimento do arame:
Onde
é o elemento de comprimento ao longo da curva.
Passo 3
Vamos determinar o elemento de comprimento
. Para uma curva definida parametricamente por
,
e
, o
é dado por:
Passo 4
Calculando as derivadas das funções paramétricas:
Passo 5
Substituindo as derivadas na expressão de
:
Simplificando:
Passo 6
Agora, substituímos
e a função de densidade
na integral da massa:
Simplificando:
Passo 7
Para resolver a integral, fazemos a substituição
, o que implica
. Os limites de integração mudam para
e
:
Passo 8
A integral
é uma forma padrão que resulta em:
Aplicando os limites de integração:
Como
:
Resposta
A massa do arame é
.
Exercícios relacionados
Calcule a integral de linha em relação a s ao longo da curva
.
Calcule, em cada parte, a integral de linha ao longo de
,
C é o arco parabólico
de
até
.
Seja C a curva representada pelas equações
Calcule, em cada parte, a integral de linha ao longo de
.
Calcule a integral de linha ao longo da curva
.