Calcule a integral de linha em relação a s ao longo da curva C.
integralC 3 x^2 y z d s
C: r(t)=t i+t^2 j+23 t^3 k, (0 <= t <= 1)

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa integral de linha juntos! O enunciado pede para calcular a integral ∫₍C₎ 3x² y z ds ao longo da curva C. Aqui, estamos lidando com cálculo vetorial, especificamente integrais de linha. Para resolver isso, vamos precisar parametrizar a curva, encontrar uma expressão para ds (um pequeno pedaço de comprimento ao longo da curva) e então substituir tudo na integral para calcular o valor final.

Passo 2

Primeiro, vamos parametrizar a curva C. A curva é dada por:
r(t) = t,i + t^2,j + 23 t^3,k, para 0 <= t <= 1
Isso significa que as coordenadas x, y e z em termos de t são:
x(t) = t, y(t) = t^2, z(t) = 23 t^3

Passo 3

Agora, precisamos encontrar a expressão para ds. Sabemos que:
ds = |r'(t)| dt
Vamos calcular a derivada de r'(t) = ddt [t,i + t^2,j + 23 t^3,k] = i + 2t,j + 2t^2,k :
|r'(t)| = raiz1^2 + (2t)^2 + (2t^2)^2 = raiz1 + 4t^2 + 4t^4
Agora, o módulo dessa derivada é:

Passo 4

Vamos agora substituir x, y, z e ds na integral original:
integralC 3x^2 y z, ds = integral0^1 3 [x(t)]^2 y(t) z(t) |r'(t)| dt
Substituindo as expressões que encontramos:
= integral0^1 3 [t^2] [t^2] (23 t^3) raiz1 + 4t^2 + 4t^4 dt

Passo 5

Simplificando a expressão dentro da integral:
3 cdot t^2 cdot t^2 cdot 23 t^3 = 2 t^7
Então, a integral fica:
integral0^1 2 t^7 raiz1 + 4t^2 + 4t^4 dt
Observe que a expressão dentro da raiz pode ser simplificada:
1 + 4t^2 + 4t^4 = (2t^2 + 2t + 1)(2t^2 - 2t + 1)
No entanto, essa expressão não simplifica de forma que facilite a integração direta, então vamos resolver a integral numericamente ou verificar se há uma substituição que simplifique.

Passo 6

Percebi que há uma simplificação possível:
1 + 4t^2 + 4t^4 = (2t^2 + 1)^2
Verificando:
(2t^2 + 1)^2 = 4t^4 + 4t^2 + 1
Então, a integral se simplifica para:
integral0^1 2 t^7 (2t^2 + 1) dt

Passo 7

Agora, vamos expandir a expressão dentro da integral:
2 t^7 (2t^2 + 1) = 4 t^9 + 2 t^7
Então, a integral fica:
integral0^1 4 t^9 + 2 t^7 dt
Podemos separar a integral:
4 integral0^1 t^9 dt + 2 integral0^1 t^7 dt

Passo 8

Vamos calcular cada integral separadamente:
4 integral0^1 t^9 dt = 4 [ t^1010 ]0^1 = 4 ( 1^1010 - 0 ) = 410 = 25
2 integral0^1 t^7 dt = 2 [ t^88 ]0^1 = 2 ( 1^88 - 0 ) = 28 = 14

Resposta

Somando os resultados:
25 + 14 = 820 + 520 = 1320
Então, o valor da integral de linha é .

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