Calcule a integral de linha em relação a s ao longo da curva
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa integral de linha juntos! O enunciado pede para calcular a integral ∫₍C₎ 3x² y z ds ao longo da curva C. Aqui, estamos lidando com cálculo vetorial, especificamente integrais de linha. Para resolver isso, vamos precisar parametrizar a curva, encontrar uma expressão para ds (um pequeno pedaço de comprimento ao longo da curva) e então substituir tudo na integral para calcular o valor final.
Passo 2
Primeiro, vamos parametrizar a curva C. A curva é dada por:
Isso significa que as coordenadas x, y e z em termos de t são:
Passo 3
Agora, precisamos encontrar a expressão para ds. Sabemos que:
Vamos calcular a derivada de
:
Agora, o módulo dessa derivada é:
Passo 4
Vamos agora substituir x, y, z e ds na integral original:
Substituindo as expressões que encontramos:
Passo 5
Simplificando a expressão dentro da integral:
Então, a integral fica:
Observe que a expressão dentro da raiz pode ser simplificada:
No entanto, essa expressão não simplifica de forma que facilite a integração direta, então vamos resolver a integral numericamente ou verificar se há uma substituição que simplifique.
Passo 6
Percebi que há uma simplificação possível:
Verificando:
Então, a integral se simplifica para:
Passo 7
Agora, vamos expandir a expressão dentro da integral:
Então, a integral fica:
Podemos separar a integral:
Passo 8
Vamos calcular cada integral separadamente:
Resposta
Somando os resultados:
Então, o valor da integral de linha é
.
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Calcule, em cada parte, a integral de linha ao longo de
,
C é o arco parabólico
de
até
.
Determine se a afirmação sobre o campo
é verdadeira ou falsa.
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Se
Calcule a massa de um arame fino com o formato da hélice
,
sent,
, se a função densidade for
, com
.
Seja C a curva representada pelas equações
Calcule, em cada parte, a integral de linha ao longo de
.