Calcule a integral de linha em relação a s ao longo da curva .

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa integral de linha juntos! O enunciado pede para calcular a integral ∫₍C₎ 3x² y z ds ao longo da curva C. Aqui, estamos lidando com cálculo vetorial, especificamente integrais de linha. Para resolver isso, vamos precisar parametrizar a curva, encontrar uma expressão para ds (um pequeno pedaço de comprimento ao longo da curva) e então substituir tudo na integral para calcular o valor final.

Passo 2

Primeiro, vamos parametrizar a curva C. A curva é dada por:
Isso significa que as coordenadas x, y e z em termos de t são:

Passo 3

Agora, precisamos encontrar a expressão para ds. Sabemos que:
Vamos calcular a derivada de :
Agora, o módulo dessa derivada é:

Passo 4

Vamos agora substituir x, y, z e ds na integral original:
Substituindo as expressões que encontramos:

Passo 5

Simplificando a expressão dentro da integral:
Então, a integral fica:
Observe que a expressão dentro da raiz pode ser simplificada:
No entanto, essa expressão não simplifica de forma que facilite a integração direta, então vamos resolver a integral numericamente ou verificar se há uma substituição que simplifique.

Passo 6

Percebi que há uma simplificação possível:
Verificando:
Então, a integral se simplifica para:

Passo 7

Agora, vamos expandir a expressão dentro da integral:
Então, a integral fica:
Podemos separar a integral:

Passo 8

Vamos calcular cada integral separadamente:

Resposta

Somando os resultados:
Então, o valor da integral de linha é .

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