Considere uma espira de fio, com o formato quadrado, com lados de comprimento
e resistência total de
. a espira está localizada no primeiro quadrante com um dos vértices na origem. Nessa região há um campo magnético dependente do tempo dado pela expressão:
, onde
é uma constante. Determine a corrente induzida na espira,
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem uma espira quadrada com lados de comprimento $ a $ e resistência total de $ R , \Omega $. Essa espira está no primeiro quadrante, com um vértice na origem. Tem um campo magnético que muda com o tempo, dado por $ \vec{B}(t) = k t^{3} \hat{k} $, onde $ k $ é uma constante. A nossa missão é descobrir a corrente induzida nessa espira, chamada $ I(t) $.
Para resolver isso, vamos precisar usar a Lei de Faraday da Indução Eletromagnética, que relaciona a variação do fluxo magnético com a força eletromotriz (fem) induzida, e depois aplicar a Lei de Ohm para achar a corrente.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é fluxo magnético. O fluxo magnético ($ \Phi $) é o total de campo magnético passando através da área da espira. Matemáticamente, é dado por:
Como nosso campo magnético está na direção $ \hat{k} $ (ou seja, perpendicular à espira), e a espira é quadrada com área $ A = a \times a = a^{2} $, o fluxo simplifica para:
Passo 3
Agora, vamos aplicar a Lei de Faraday, que diz que a fem induzida ($ \mathcal{E} $) é igual à taxa de variação do fluxo magnético:
Vamos calcular a derivada do fluxo em relação ao tempo:
Portanto, a fem induzida é:
Passo 4
A próxima etapa é encontrar a corrente induzida usando a Lei de Ohm, que relaciona a fem ($ \mathcal{E}
I
R $):
Queremos isolar $ I(t) $, então:
Resposta
A corrente induzida na espira é: