Calcule o campo magnético no eixo z de uma espira circular de raio a no plano xy e centro na origem com uma corrente i no sentido anti-horário. Observação: só no eixo z, para não cair nas integrais elípticas.

Passo 1

Vamos começar entendendo o que o exercício está pedindo. Precisamos calcular o campo magnético ao longo do eixo de uma espira circular com raio , localizada no plano e centrada na origem. A corrente que percorre a espira tem intensidade e está no sentido anti-horário. Para resolver isso, vamos usar a Lei de Biot-Savart, que nos ajuda a determinar o campo magnético gerado por uma corrente elétrica.

Passo 2

A Lei de Biot-Savart nos diz que o campo magnético dB = mu04pi I dl times rr^2 devido a um elemento de corrente em uma posição é dado por:
onde:
  • é a permeabilidade do vácuo,
  • é a corrente,
  • é um elemento de comprimento da espira,
  • é o vetor unitário que aponta de até o ponto onde estamos calculando o campo,
  • é a distância entre e o ponto de cálculo.

Passo 3

Como estamos interessados no campo ao longo do eixo , vamos considerar um ponto nesse eixo, a uma distância da origem. A simetria do problema facilita os cálculos, pois os componentes horizontais do campo se cancelam devido à simetria circular, restando apenas a componente vertical .

Passo 4

Vamos parametrizar a espira circular no plano r' = a costheta , x + a sintheta , y usando coordenadas polares. Um ponto na espira pode ser descrito por:
dl = -a sintheta , dtheta , x + a costheta , dtheta , y
e o elemento de corrente é:

Passo 5

A distância r = -a costheta , x - a sintheta , y + z , z do elemento r = raiza^2 + z^2 até o ponto no eixo é:
E seu módulo é:

Passo 6

O vetor unitário r = rr = -a costheta , x - a sintheta , y + z , zraiza^2 + z^2 é:

Passo 7

Calculamos o produto vetorial dl times r = ( -a sintheta , x + a costheta , y ) times -a costheta , x - a sintheta , y + z , zraiza^2 + z^2 :
Após simplificar, constatamos que apenas a componente na direção contribui para o campo magnético devido à simetria.

Passo 8

Integrando ao redor de toda a espira, obtemos:
Bz = mu0 I a^22(a^2 + z^2)^3/2

Resposta

O campo magnético no eixo Bz = mu0 I a^22(a^2 + z^2)^3/2 da espira circular é dado por:

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