Calcule o campo magnético no eixo de uma espira circular de raio no plano xy e centro na origem com uma corrente no sentido anti-horário. Observação: só no eixo z, para não cair nas integrais elípticas.
Passo 1
Vamos começar entendendo o que o exercício está pedindo. Precisamos calcular o campo magnético ao longo do eixo de uma espira circular com raio , localizada no plano e centrada na origem. A corrente que percorre a espira tem intensidade e está no sentido anti-horário. Para resolver isso, vamos usar a Lei de Biot-Savart, que nos ajuda a determinar o campo magnético gerado por uma corrente elétrica.
Passo 2
A Lei de Biot-Savart nos diz que o campo magnético devido a um elemento de corrente em uma posição é dado por:
onde:
é a permeabilidade do vácuo,
é a corrente,
é um elemento de comprimento da espira,
é o vetor unitário que aponta de até o ponto onde estamos calculando o campo,
é a distância entre e o ponto de cálculo.
Passo 3
Como estamos interessados no campo ao longo do eixo , vamos considerar um ponto nesse eixo, a uma distância da origem. A simetria do problema facilita os cálculos, pois os componentes horizontais do campo se cancelam devido à simetria circular, restando apenas a componente vertical .
Passo 4
Vamos parametrizar a espira circular no plano usando coordenadas polares. Um ponto na espira pode ser descrito por:
e o elemento de corrente é:
Passo 5
A distância do elemento até o ponto no eixo é:
E seu módulo é:
Passo 6
O vetor unitário é:
Passo 7
Calculamos o produto vetorial :
Após simplificar, constatamos que apenas a componente na direção contribui para o campo magnético devido à simetria.
Passo 8
Integrando ao redor de toda a espira, obtemos:
Resposta
O campo magnético no eixo da espira circular é dado por: