Combine o teorema da divergência e a lei de Gauss na forma integral e obtenha a lei de Gauss na forma diferencial. A partir da equação do campo elétrico E para uma distribuição volumétrica de cargas, obtenha a (b) divergência e © e o rotacional de E.

Passo 1

Vamos entender o que a questão está pedindo. Primeiro, precisamos combinar o teorema da divergência com a lei de Gauss na forma integral para chegar à forma diferencial da lei de Gauss. Depois, usando a equação do campo elétrico E para uma distribuição de cargas volumétrica, vamos calcular a divergência e o rotacional de E. Isso envolve conceitos de cálculo vetorial e eletrostática.

Passo 2

Vamos começar lembrando o que é a lei de Gauss na forma integral. Ela diz que o fluxo elétrico através de uma superfície fechada é igual à carga total dentro da superfície dividida pela permissividade do vácuo:
ointpartial V E cdot dA = Qinternovarepsilon0
E o teorema da divergência relaciona o fluxo de um campo vetorial através de uma superfície fechada ao volume em que a superfície está envolvida:
ointpartial V E cdot dA = integralV (nabla cdot E) , dV

Passo 3

Igualando as duas expressões acima, temos:
integralV (nabla cdot E) , dV = Qinternovarepsilon0
Como a equação deve valer para qualquer volume V, podemos concluir que:
nabla cdot E = rhovarepsilon0
onde rho é a densidade de carga volumétrica. Essa é a forma diferencial da lei de Gauss.

Passo 4

Agora, vamos para a segunda parte da questão. A equação do campo elétrico para uma distribuição volumétrica de cargas é dada por:
E = 14pivarepsilon0 integral rho(r') (r - r')|r - r'|^3 , dV'
Para encontrar a divergência de E, usamos a forma diferencial da lei de Gauss que já encontramos:
nabla cdot E = rhovarepsilon0

Passo 5

Agora, vamos encontrar o rotacional de E. Sabemos que, em eletrostática, o campo elétrico é conservativo, o que significa que ele pode ser derivado de um potencial escalar V:
E = -nabla V
Para campos conservativos, o rotacional é sempre zero:
nabla times E = 0

Resposta

A divergência do campo elétrico é nabla cdot E = dfracrhovarepsilon0 e o rotacional é nabla times E = 0.

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