Combine o teorema da divergência e a lei de Gauss na forma integral e obtenha a lei de Gauss na forma diferencial. A partir da equação do campo elétrico
para uma distribuição volumétrica de cargas, obtenha a (b) divergência e © e o rotacional de
.
Passo 1
Vamos entender o que a questão está pedindo. Primeiro, precisamos combinar o teorema da divergência com a lei de Gauss na forma integral para chegar à forma diferencial da lei de Gauss. Depois, usando a equação do campo elétrico
para uma distribuição de cargas volumétrica, vamos calcular a divergência e o rotacional de
. Isso envolve conceitos de cálculo vetorial e eletrostática.
Passo 2
Vamos começar lembrando o que é a lei de Gauss na forma integral. Ela diz que o fluxo elétrico através de uma superfície fechada é igual à carga total dentro da superfície dividida pela permissividade do vácuo:
E o teorema da divergência relaciona o fluxo de um campo vetorial através de uma superfície fechada ao volume em que a superfície está envolvida:
Passo 3
Igualando as duas expressões acima, temos:
Como a equação deve valer para qualquer volume
, podemos concluir que:
onde
é a densidade de carga volumétrica. Essa é a forma diferencial da lei de Gauss.
Passo 4
Agora, vamos para a segunda parte da questão. A equação do campo elétrico para uma distribuição volumétrica de cargas é dada por:
Para encontrar a divergência de
, usamos a forma diferencial da lei de Gauss que já encontramos:
Passo 5
Agora, vamos encontrar o rotacional de
. Sabemos que, em eletrostática, o campo elétrico é conservativo, o que significa que ele pode ser derivado de um potencial escalar
:
Para campos conservativos, o rotacional é sempre zero:
Resposta
A divergência do campo elétrico é
e o rotacional é
.