Calcule a capacitância de um capacitor de (a) placas paralelas de área A distanciados por d, (b) placas cilíndricas concêntricas, ou seja, um cabo coaxial, com comprimento L e raios a e b e © placas esféricas concêntricas de raios a e b. Qual é o ponto falho no cálculo dos itens a e b ?

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa calcular a capacitância de três tipos de capacitores:
(a) placas paralelas,
(b) placas cilíndricas concêntricas (como um cabo coaxial),
e
© placas esféricas concêntricas.
Além disso, vamos identificar onde pode ter um erro nos cálculos dos itens a e b. Para isso, vamos precisar lembrar das fórmulas de capacitância para cada geometria e entender os princípios que as fundamentam.

Passo 2

Vamos começar com o item (a): capacitor de placas paralelas.
A capacitância C = varepsilon0 Ad de um capacitor de placas paralelas é dada pela fórmula:
Onde:
  • é a permissividade do vácuo ( ),
  • é a área de cada placa,
  • é a distância entre as placas.
Essa fórmula assume que o campo elétrico entre as placas é uniforme, o que é uma boa aproximação quando as placas são grandes e a distância é pequena comparada ao tamanho das placas.

Passo 3

Agora, vamos para o item (b): capacitor de placas cilíndricas concêntricas (cabo coaxial).
A capacitância C = 2pi varepsilon0 Lln(ba) para um cabo coaxial com comprimento e raios internos e externos é dada por:
Onde:
  • é a permissividade do vácuo,
  • é o comprimento do cabo,
  • e são os raios das duas cilindros concêntricos,
  • representa o logaritmo natural.
Essa fórmula é derivada considerando a distribuição de carga em cilindros concêntricos e o campo elétrico resultante.

Passo 4

Seguimos para o item ©: capacitor de placas esféricas concêntricas.
A capacitância C = 4pi varepsilon0 abb - a de um capacitor esférico com raios internos e externos é calculada por:
Onde:
  • é a permissividade do vácuo,
  • e são os raios das esferas interna e externa, respectivamente.
Essa fórmula considera a distribuição de carga em esferas concêntricas e o campo elétrico gerado entre elas.

Passo 5

Agora, vamos identificar o ponto falho nos cálculos dos itens a e b.
O erro comum nesses cálculos é assumir que o campo elétrico é uniforme em todas as regiões, o que nem sempre é verdade.
  • No item (a), a fórmula é válida apenas quando as placas são grandes e é pequeno, de modo que o campo realmente fica uniforme. Se as placas não forem suficientemente grandes ou não for pequeno, essa aproximação não funciona bem.
  • No item (b), ao usar , presume-se que o comprimento do cabo é muito maior que os raios e , garantindo que o campo seja radial e uniforme ao longo do comprimento. Se não for suficientemente grande, os efeitos de borda tornam o campo não uniforme, invalidando a fórmula usada.

Resposta

A capacitância dos capacitores é dada por:
  • a) ,
  • b) ,
  • c) .
O ponto falho nos cálculos dos itens a e b é a assunção de que o campo elétrico é uniforme, o que só é válido quando as dimensões são tais que as aproximações utilizadas realmente se aplicam.

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