Calcule a capacitância de um capacitor de (a) placas paralelas de área
distanciados por
, (b) placas cilíndricas concêntricas, ou seja, um cabo coaxial, com comprimento
e raios
e
e © placas esféricas concêntricas de raios
e
. Qual é o ponto falho no cálculo dos itens
?
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa calcular a capacitância de três tipos de capacitores:
(a) placas paralelas,
(b) placas cilíndricas concêntricas (como um cabo coaxial),
e
© placas esféricas concêntricas.
Além disso, vamos identificar onde pode ter um erro nos cálculos dos itens a e b. Para isso, vamos precisar lembrar das fórmulas de capacitância para cada geometria e entender os princípios que as fundamentam.
(a) placas paralelas,
(b) placas cilíndricas concêntricas (como um cabo coaxial),
e
© placas esféricas concêntricas.
Além disso, vamos identificar onde pode ter um erro nos cálculos dos itens a e b. Para isso, vamos precisar lembrar das fórmulas de capacitância para cada geometria e entender os princípios que as fundamentam.
Passo 2
Vamos começar com o item (a): capacitor de placas paralelas.
A capacitância
de um capacitor de placas paralelas é dada pela fórmula:
Onde:
-
é a permissividade do vácuo ( ), -
é a área de cada placa, -
é a distância entre as placas.
Essa fórmula assume que o campo elétrico entre as placas é uniforme, o que é uma boa aproximação quando as placas são grandes e a distância
é pequena comparada ao tamanho das placas.
Passo 3
Agora, vamos para o item (b): capacitor de placas cilíndricas concêntricas (cabo coaxial).
A capacitância
para um cabo coaxial com comprimento
e raios internos
e externos
é dada por:
Onde:
-
é a permissividade do vácuo, -
é o comprimento do cabo, -
e são os raios das duas cilindros concêntricos, -
representa o logaritmo natural.
Essa fórmula é derivada considerando a distribuição de carga em cilindros concêntricos e o campo elétrico resultante.
Passo 4
Seguimos para o item ©: capacitor de placas esféricas concêntricas.
A capacitância
de um capacitor esférico com raios internos
e externos
é calculada por:
Onde:
-
é a permissividade do vácuo, -
e são os raios das esferas interna e externa, respectivamente.
Essa fórmula considera a distribuição de carga em esferas concêntricas e o campo elétrico gerado entre elas.
Passo 5
Agora, vamos identificar o ponto falho nos cálculos dos itens a e b.
O erro comum nesses cálculos é assumir que o campo elétrico é uniforme em todas as regiões, o que nem sempre é verdade.
-
No item (a), a fórmula
é válida apenas quando as placas são grandes e é pequeno, de modo que o campo realmente fica uniforme. Se as placas não forem suficientemente grandes ou não for pequeno, essa aproximação não funciona bem. -
No item (b), ao usar
, presume-se que o comprimento do cabo é muito maior que os raios e , garantindo que o campo seja radial e uniforme ao longo do comprimento. Se não for suficientemente grande, os efeitos de borda tornam o campo não uniforme, invalidando a fórmula usada.
Resposta
A capacitância dos capacitores é dada por:
- a)
, - b)
, - c)
.
O ponto falho nos cálculos dos itens a e b é a assunção de que o campo elétrico é uniforme, o que só é válido quando as dimensões são tais que as aproximações utilizadas realmente se aplicam.
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