Um fio de 1 mm de diâmetro e com sigma=5 times 10^7 S / m tem 10^29 elétrons livres por m^3 quando um campo elétrico de 10 mV / m é aplicado. Determine: (a) a densidade de cargas dos elétrons livres, (b) a densidade de corrente no fio, © a corrente e a velocidade de deriva dos elétrons.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem um fio de 1 mm de diâmetro com uma condutividade elétrica de sigma = 5 times 10^7 , S/m. Nesse fio, há 10^29 elétrons livres por metro cúbico quando aplicamos um campo elétrico de 10 , mV/m. Precisamos determinar:
a) A densidade de cargas dos elétrons livres,
b) A densidade de corrente no fio,
c) A corrente e a velocidade de deriva dos elétrons.
Vamos usar conceitos de eletricidade e magnetismo, como densidade de carga, densidade de corrente e velocidade de deriva. Vamos precisar das fórmulas que relacionam essas grandezas.

Passo 2

a) Densidade de cargas dos elétrons livres
A densidade de carga ( rho) é a quantidade de carga por unidade de volume. Para elétrons livres, a densidade de carga é dada por:
rho = n cdot e
onde:
  • n é a densidade de elétrons livres ( 10^29 , elétrons/m^3é),
  • e é a carga elementar ( 1,6 times 10^-19 , C).
Vamos calcular:
rho = 10^29 , m^-3 times 1,6 times 10^-19 , C = 1,6 times 10^10 , C/m^3

Passo 3

b) Densidade de corrente no fio
A densidade de corrente ( J) está relacionada à condutividade elétrica ( sigma) e ao campo elétrico ( E) através da fórmula:
J = sigma cdot E
Dados:
  • sigma = 5 times 10^7 , S/m,
  • E = 10 , mV/m = 10 times 10^-3 , V/m.
Calculando:
J = 5 times 10^7 , S/m times 10 times 10^-3 , V/m = 5 times 10^5 , A/m^2

Passo 4

c) Corrente e velocidade de deriva dos elétrons
Primeiro, vamos encontrar a corrente elétrica ( I). A corrente está relacionada à densidade de corrente ( J) e à área da seção transversal do fio ( A):
I = J cdot A
O fio tem diâmetro de 1 mm, então o raio ( r) é 0,5 mm = 0,5 times 10^-3 , m. A área é:
A = pi r^2 = pi (0,5 times 10^-3 , m)^2 = pi times 0,25 times 10^-6 , m^2 = 0,785 times 10^-6 , m^2
Agora, calculamos a corrente:
I = 5 times 10^5 , A/m^2 times 0,785 times 10^-6 , m^2 approx 0,3925 , A
Para encontrar a velocidade de deriva ( vd), usamos a relação:
J = n cdot e cdot vd
Rearranjando para vd:
vd = Jn cdot e = 5 times 10^5 , A/m^210^29 , m^-3 times 1,6 times 10^-19 , C = 5 times 10^51,6 times 10^10 , m/s approx 3,125 times 10^-5 , m/s

Resposta

a) A densidade de cargas dos elétrons livres é 1,6 times 10^10 , C/m^3.
b) A densidade de corrente no fio é 5 times 10^5 , A/m^2.
c) A corrente no fio é aproximadamente 0,3925 , A e a velocidade de deriva dos elétrons é 3,125 times 10^-5 , m/s.

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