Calcule a capacitância de capacitores de placas, carregados com uma carga
cujas placas são: (a) esféricas, de raio interno
e raio externo
e (b) cilíndricas, de raio interno
, raio externo
e comprimento
. Considere que entre as placas existe um dielétrico de constante
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício que pede para calcular a capacitância de dois tipos de capacitores: esféricos e cilíndricos. A matéria que vamos usar aqui é a capacitância de capacitores com dielétrico. Para isso, vamos precisar das fórmulas de capacitância para capacitores esféricos e cilíndricos, além de entender como o dielétrico influencia nessa capacitância.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é capacitância. Capacitância é uma medida de quanto de carga um capacitor pode armazenar por unidade de diferença de potencial (voltagem). A fórmula básica é:
Onde:
-
é a capacitância, -
é a carga, -
é a diferença de potencial.
Passo 3
Agora, vamos considerar o efeito do dielétrico. Quando há um material dielétrico entre as placas do capacitor, a capacitância aumenta em um fator igual à constante dielétrica
do material. Assim, a fórmula fica:
Passo 4
Vamos começar com a parte (a): capacitor esférico com raio interno
e raio externo
. A capacitância de um capacitor esférico com diel��trico é dada por:
Onde:
-
é a permissividade do vácuo, -
é a constante dielétrica, -
e são os raios interno e externo das esferas.
Passo 5
Agora, vamos para a parte (b): capacitor cilíndrico com raio interno
, raio externo
e comprimento
. A capacitância de um capacitor cilíndrico com dielétrico é dada por:
Onde:
-
é o comprimento do cilindro, -
representa o logaritmo natural.
Passo 6
Então, resumindo as fórmulas que encontramos:
- Esférico:
- Cilíndrico:
Resposta
A capacitância é:
(a) Para o capacitor esférico,
(b) Para o capacitor cilíndrico,