Calcule a capacitância de capacitores de placas, carregados com uma carga q cujas placas são: (a) esféricas, de raio interno a e raio externo b e (b) cilíndricas, de raio interno a, raio externo b e comprimento L. Considere que entre as placas existe um dielétrico de constante kappa.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício que pede para calcular a capacitância de dois tipos de capacitores: esféricos e cilíndricos. A matéria que vamos usar aqui é a capacitância de capacitores com dielétrico. Para isso, vamos precisar das fórmulas de capacitância para capacitores esféricos e cilíndricos, além de entender como o dielétrico influencia nessa capacitância.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é capacitância. Capacitância é uma medida de quanto de carga um capacitor pode armazenar por unidade de diferença de potencial (voltagem). A fórmula básica é:
C = qV
Onde:
  • é a capacitância,
  • é a carga,
  • é a diferença de potencial.

Passo 3

Agora, vamos considerar o efeito do dielétrico. Quando há um material dielétrico entre as placas do capacitor, a capacitância aumenta em um fator igual à constante dielétrica C = kappa cdot qV do material. Assim, a fórmula fica:

Passo 4

Vamos começar com a parte (a): capacitor esférico com raio interno C = 4pivarepsilon0kappa cdot abb - a e raio externo . A capacitância de um capacitor esférico com diel��trico é dada por:
Onde:
  • é a permissividade do vácuo,
  • é a constante dielétrica,
  • e são os raios interno e externo das esferas.

Passo 5

Agora, vamos para a parte (b): capacitor cilíndrico com raio interno C = 2pivarepsilon0kappa Lln(ba) , raio externo e comprimento . A capacitância de um capacitor cilíndrico com dielétrico é dada por:
Onde:
  • é o comprimento do cilindro,
  • representa o logaritmo natural.

Passo 6

Então, resumindo as fórmulas que encontramos:
  • Esférico:
Cesférico = 4pivarepsilon0kappa cdot abb - a é
  • Cilíndrico:
Ccilíndrico = 2pivarepsilon0kappa Lln(ba) í

Resposta

A capacitância é:
(a) Para o capacitor esférico,
C = 4pivarepsilon0kappa cdot abb - a
(b) Para o capacitor cilíndrico,
C = 2pivarepsilon0kappa Lln(ba)

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