Calcule a capacitância de capacitores de placas, carregados com uma carga cujas placas são: (a) esféricas, de raio interno e raio externo e (b) cilíndricas, de raio interno , raio externo e comprimento . Considere que entre as placas existe um dielétrico de constante .

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício que pede para calcular a capacitância de dois tipos de capacitores: esféricos e cilíndricos. A matéria que vamos usar aqui é a capacitância de capacitores com dielétrico. Para isso, vamos precisar das fórmulas de capacitância para capacitores esféricos e cilíndricos, além de entender como o dielétrico influencia nessa capacitância.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é capacitância. Capacitância é uma medida de quanto de carga um capacitor pode armazenar por unidade de diferença de potencial (voltagem). A fórmula básica é:
Onde:
  • é a capacitância,
  • é a carga,
  • é a diferença de potencial.

Passo 3

Agora, vamos considerar o efeito do dielétrico. Quando há um material dielétrico entre as placas do capacitor, a capacitância aumenta em um fator igual à constante dielétrica do material. Assim, a fórmula fica:

Passo 4

Vamos começar com a parte (a): capacitor esférico com raio interno e raio externo . A capacitância de um capacitor esférico com diel��trico é dada por:
Onde:
  • é a permissividade do vácuo,
  • é a constante dielétrica,
  • e são os raios interno e externo das esferas.

Passo 5

Agora, vamos para a parte (b): capacitor cilíndrico com raio interno , raio externo e comprimento . A capacitância de um capacitor cilíndrico com dielétrico é dada por:
Onde:
  • é o comprimento do cilindro,
  • representa o logaritmo natural.

Passo 6

Então, resumindo as fórmulas que encontramos:
  • Esférico:
é
  • Cilíndrico:
í

Resposta

A capacitância é:
(a) Para o capacitor esférico,
(b) Para o capacitor cilíndrico,

Exercícios relacionados

Sabendo que é a constante gravitacional universal, calcular:
Estimar a relação de correspondência entre a aceleração gravitacional na superfície do Sol e a aceleração gravitacional da Terra.
Suponha que ao invés de manter a carga constante no problema 4.6 uma bateria, que fornece uma diferença de potencial , permaneça ligada enquanto o bloco dielétrico é inserido entre as placas do capacitor. Determine (a) a carga total do capacitor em função de , (b) a densidade de cargas, , na porção da placa do capacitor que contém o dielétrico, © a densidade de cargas, , na porção da placa do capacitor que não contém o dielétrico, (d) o campo elétrico total entre as placas do capacitor na região preenchida pelo dielétrico e, (e) o campo elétrico total no interior do capacitor na região que não está preenchida pelo dielétrico. Comente suas respostas aos itens (a) a (d). (f) Mantendo a bateria ligada, o bloco será puxado para dentro ou para fora do capacitor? Justifique sua resposta e faça considerações acerca da energia acumulada no capacitor antes e depois de inserir a placa dielétrica.
Supondo que a capacidade de geração de energia elétrica do Brasil por meio de usinas hidrelétricas, termoelétricas e nucleares seja de 104.726 MW , quanto tempo teriam que funcionar estas usinas para gerar a energia total equivalente à emitida pelo Sol em um segundo?
Seja um cilindro de metal de raio , comprimento e carga uniformemente distribuida cercada até o raio por um metal dielétrico linear de constante dielétrica de . Calcule os vetores e em todas as regiões: (I) dentro do condutor, (II) no dielétrico e (III) fora dos cilíndros.