Seja um cilindro de metal de raio
, comprimento
e carga
uniformemente distribuida cercada até o raio
por um metal dielétrico linear de constante dielétrica de
. Calcule os vetores
e
em todas as regiões: (I) dentro do condutor, (II) no dielétrico e (III) fora dos cilíndros.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado fala sobre um cilindro de metal com certas características e pede para calcular três vetores elétricos (
,
e
) em três regiões diferentes ao redor desse cilindro. Esse tipo de problema está relacionado com a Eletrostática e envolve conceitos como campo elétrico, deslocamento elétrico e polarização dielétrica. Para resolver isso, vamos usar a Lei de Gauss e entender como esses vetores se comportam em materiais condutores e dielétricos.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar as três regiões mencionadas:
- Dentro do condutor (
) - No dielétrico (
) - Fora dos cilindros (
)
Para cada região, vamos calcular
,
e
.
Passo 3
Região I: Dentro do condutor (
)
Em um condutor em equilíbrio eletrostático, o campo elétrico interno (
) é zero. Isso porque as cargas livres no condutor se redistribuem até que o campo interno elimine.
Então:
O deslocamento elétrico (
) está relacionado com
pela equação:
Como
e não há polarização dentro do condutor (já que é metálico e as cargas estão livres),
A polarização (
) também é zero dentro do condutor:
Passo 4
Região II: No dielétrico (
)
Aqui, temos um material dielétrico com constante dielétrica
. Vamos usar a Lei de Gauss para o deslocamento elétrico
.
A Lei de Gauss para
é:
Para um cilindro cilíndrico, a simetria nos ajuda. O deslocamento elétrico
será radial e dependerá apenas da distância
.
A área da superfície gaussiana é
, onde
é o comprimento do cilindro.
Assim:
Então:
Agora, para encontrar o campo elétrico
, usamos a relação entre
e
no dielétrico:
Então:
Portanto:
A polarização
está relacionada com
e
pela equação:
Substituindo
:
Então:
Passo 5
Região III: Fora dos cilindros (
)
Fora do dielétrico, temos um espaço livre sem materiais dielétricos, então a constante dielétrica é a do vácuo,
.
Aplicando novamente a Lei de Gauss para
:
A superfície gaussiana agora é para
:
Então:
O campo elétrico
é dado por:
Portanto:
Como não há polarização fora do dielétrico:
Resposta
Os vetores
,
e
nas três regiões são:
-
Dentro do condutor (
): -
-
No dielétrico (
): -
-
Fora dos cilindros (
): -
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