Seja um cilindro de metal de raio a, comprimento L e carga q uniformemente distribuida cercada até o raio b por um metal dielétrico linear de constante dielétrica de kappa. Calcule os vetores D, E e P em todas as regiões: (I) dentro do condutor, (II) no dielétrico e (III) fora dos cilíndros.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado fala sobre um cilindro de metal com certas características e pede para calcular três vetores elétricos ( D, E e P) em três regiões diferentes ao redor desse cilindro. Esse tipo de problema está relacionado com a Eletrostática e envolve conceitos como campo elétrico, deslocamento elétrico e polarização dielétrica. Para resolver isso, vamos usar a Lei de Gauss e entender como esses vetores se comportam em materiais condutores e dielétricos.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar as três regiões mencionadas:
  1. Dentro do condutor ( r < a)
  2. No dielétrico ( a < r < b)
  3. Fora dos cilindros ( r > b)
Para cada região, vamos calcular D, E e P.

Passo 3

Região I: Dentro do condutor ( r < a)
Em um condutor em equilíbrio eletrostático, o campo elétrico interno ( E) é zero. Isso porque as cargas livres no condutor se redistribuem até que o campo interno elimine.
Então:
  • E = 0
O deslocamento elétrico ( D) está relacionado com E pela equação:
D = epsilon0 E + P
Como E = 0 e não há polarização dentro do condutor (já que é metálico e as cargas estão livres),
  • D = 0
A polarização ( P) também é zero dentro do condutor:
  • P = 0

Passo 4

Região II: No dielétrico ( a < r < b)
Aqui, temos um material dielétrico com constante dielétrica kappa. Vamos usar a Lei de Gauss para o deslocamento elétrico D.
A Lei de Gauss para D é:
oint D cdot dA = qlivre
Para um cilindro cilíndrico, a simetria nos ajuda. O deslocamento elétrico D será radial e dependerá apenas da distância r.
A área da superfície gaussiana é 2pi r L, onde L é o comprimento do cilindro.
Assim:
D cdot 2pi r L = q D cdot 2pi r L = q D = q2pi r L
Então:
  • D = q2pi r L r
Agora, para encontrar o campo elétrico E, usamos a relação entre D e E no dielétrico:
D = kappa epsilon0 E
Então:
E = Dkappa epsilon0 = q2pi kappa epsilon0 r L r
Portanto:
  • E = q2pi kappa epsilon0 r L r
A polarização P está relacionada com D e E pela equação:
D = epsilon0 E + P
Substituindo E:
P = D - epsilon0 E = q2pi r L r - epsilon0 ( q2pi kappa epsilon0 r L ) r = q2pi r L (1 - 1kappa) r
Então:
  • P = q2pi r L (1 - 1kappa) r

Passo 5

Região III: Fora dos cilindros ( r > b)
Fora do dielétrico, temos um espaço livre sem materiais dielétricos, então a constante dielétrica é a do vácuo, epsilon0.
Aplicando novamente a Lei de Gauss para D:
oint D cdot dA = qlivre
A superfície gaussiana agora é para r > b:
D cdot 2pi r L = q D = q2pi r L
Então:
  • D = q2pi r L r
O campo elétrico E é dado por:
D = epsilon0 E E = Depsilon0 = q2pi epsilon0 r L r
Portanto:
  • E = q2pi epsilon0 r L r
Como não há polarização fora do dielétrico:
  • P = 0

Resposta

Os vetores D, E e P nas três regiões são:
  1. Dentro do condutor ( r < a):
    • D = 0
    • E = 0
    • P = 0
  2. No dielétrico ( a < r < b):
    • D = dfracq2pi r L r
    • E = dfracq2pi kappa epsilon0 r L r
    • P = dfracq2pi r L (1 - dfrac1kappa) r
  3. Fora dos cilindros ( r > b):
    • D = dfracq2pi r L r
    • E = dfracq2pi epsilon0 r L r
    • P = 0

Exercícios relacionados