Seja um cilindro de metal de raio , comprimento e carga uniformemente distribuida cercada até o raio por um metal dielétrico linear de constante dielétrica de . Calcule os vetores e em todas as regiões: (I) dentro do condutor, (II) no dielétrico e (III) fora dos cilíndros.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado fala sobre um cilindro de metal com certas características e pede para calcular três vetores elétricos ( , e ) em três regiões diferentes ao redor desse cilindro. Esse tipo de problema está relacionado com a Eletrostática e envolve conceitos como campo elétrico, deslocamento elétrico e polarização dielétrica. Para resolver isso, vamos usar a Lei de Gauss e entender como esses vetores se comportam em materiais condutores e dielétricos.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar as três regiões mencionadas:
  1. Dentro do condutor ( )
  2. No dielétrico ( )
  3. Fora dos cilindros ( )
Para cada região, vamos calcular , e .

Passo 3

Região I: Dentro do condutor ( )
Em um condutor em equilíbrio eletrostático, o campo elétrico interno ( ) é zero. Isso porque as cargas livres no condutor se redistribuem até que o campo interno elimine.
Então:
O deslocamento elétrico ( ) está relacionado com pela equação:
Como e não há polarização dentro do condutor (já que é metálico e as cargas estão livres),
A polarização ( ) também é zero dentro do condutor:

Passo 4

Região II: No dielétrico ( )
Aqui, temos um material dielétrico com constante dielétrica . Vamos usar a Lei de Gauss para o deslocamento elétrico .
A Lei de Gauss para é:
Para um cilindro cilíndrico, a simetria nos ajuda. O deslocamento elétrico será radial e dependerá apenas da distância .
A área da superfície gaussiana é , onde é o comprimento do cilindro.
Assim:
Então:
Agora, para encontrar o campo elétrico , usamos a relação entre e no dielétrico:
Então:
Portanto:
A polarização está relacionada com e pela equação:
Substituindo :
Então:

Passo 5

Região III: Fora dos cilindros ( )
Fora do dielétrico, temos um espaço livre sem materiais dielétricos, então a constante dielétrica é a do vácuo, .
Aplicando novamente a Lei de Gauss para :
A superfície gaussiana agora é para :
Então:
O campo elétrico é dado por:
Portanto:
Como não há polarização fora do dielétrico:

Resposta

Os vetores , e nas três regiões são:
  1. Dentro do condutor ( ):
  2. No dielétrico ( ):
  3. Fora dos cilindros ( ):

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