Suponha que ao invés de manter a carga constante no problema 4.6 uma bateria, que fornece uma diferença de potencial
, permaneça ligada enquanto o bloco dielétrico é inserido entre as placas do capacitor. Determine (a) a carga total do capacitor em função de
, (b) a densidade de cargas,
, na porção da placa do capacitor que contém o dielétrico, © a densidade de cargas,
, na porção da placa do capacitor que não contém o dielétrico, (d) o campo elétrico total entre as placas do capacitor na região preenchida pelo dielétrico e, (e) o campo elétrico total no interior do capacitor na região que não está preenchida pelo dielétrico. Comente suas respostas aos itens (a) a (d). (f) Mantendo a bateria ligada, o bloco será puxado para dentro ou para fora do capacitor? Justifique sua resposta e faça considerações acerca da energia acumulada no capacitor antes e depois de inserir a placa dielétrica.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O problema nos pede para analisar um capacitor conectado a uma bateria de diferença de potencial
enquanto inserimos um bloco dielétrico entre as suas placas. A gente vai precisar usar conceitos de capacitores, dielétricos, campo elétrico e densidade de carga. Vamos resolver passo a passo os itens de (a) a (f).
Passo 2
Item (a): Determinar a carga total do capacitor em função de
.
Primeiro, lembrando que um capacitor sem dielétrico tem capacitância
, onde
é a área das placas e
a distância entre elas. Quando inserimos um dielétrico com constante dielétrica
ocupando uma fração
da área, a capacitância total
passa a depender de
.
A capacitância com dielétrico parcialmente inserido é dada por:
Como a bateria está ligada, a diferença de potencial
é constante, então a carga total
no capacitor é:
Passo 3
Item (b): Determinar a densidade de cargas,
, na porção da placa do capacitor que contém o dielétrico.
A densidade de carga
é a carga por unidade de área. Na região com dielétrico, a capacitância é aumentada pela constante
, mas como o potencial é constante, a carga nessa região é proporcional a
.
Então,
Passo 4
Item ©: Determinar a densidade de cargas,
, na porção da placa do capacitor que não contém o dielétrico.
Similarmente, na região sem dielétrico, a densidade de carga é:
Passo 5
Item (d): Determinar o campo elétrico total entre as placas do capacitor na região preenchida pelo dielétrico.
O campo elétrico
em uma região com dielétrico é dado por:
Substituindo
:
Passo 6
Item (e): Determinar o campo elétrico total no interior do capacitor na região que não está preenchida pelo dielétrico.
Na região sem dielétrico, o campo elétrico é:
Passo 7
Comentando os itens (a) a (d):
(a) Vemos que a carga total aumenta com
se
, já que o dielétrico permite maior armazenamento de carga.
(b) A densidade de carga na região com dielétrico é maior devido à constante dielétrica
.
© Na região sem dielétrico, a densidade de carga é menor, refletindo a ausência do material que facilita o armazenamento de carga.
(d) O campo elétrico na região com dielétrico permanece o mesmo que na região sem dielétrico, ajustado pela presença do dielétrico.
Passo 8
Item (f): O bloco será puxado para dentro ou para fora do capacitor? Justifique e considere a energia acumulada.
Como a capacitância aumenta com a inserção do dielétrico e o potencial
é constante, a energia armazenada
no capacitor é:
Com
aumentando,
também aumenta. No entanto, em presença de forças eletrostáticas, o sistema tende a minimizar a energia. Portanto, a força resultante puxa o bloco para dentro do capacitor.
Resposta
Resumindo, ao inserir o dielétrico mantido a bateria ligada:
(a) A carga total do capacitor é
.
(b) A densidade de carga na porção com dielétrico é
.
© A densidade de carga na porção sem dielétrico é
.
(d) O campo elétrico na região com dielétrico é
.
(e) O campo elétrico na região sem dielétrico é
.
(f) O bloco dielétrico será puxado para dentro do capacitor devido ao aumento da capacitância e à tendência do sistema de minimizar a energia armazenada.
Exercícios relacionados
(H54) Duas placas paralelas de
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.
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(M07) - Um capacitor de placas paralelas de área
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.
Sabendo que
é a constante gravitacional universal, calcular:
Estimar a relação de correspondência entre a aceleração gravitacional na superfície do Sol e a aceleração gravitacional da Terra.
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, raio externo
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. Considere que entre as placas existe um dielétrico de constante
.