Suponha que ao invés de manter a carga constante no problema 4.6 uma bateria, que fornece uma diferença de potencial V, permaneça ligada enquanto o bloco dielétrico é inserido entre as placas do capacitor. Determine (a) a carga total do capacitor em função de x, (b) a densidade de cargas, sigma1, na porção da placa do capacitor que contém o dielétrico, © a densidade de cargas, sigma2, na porção da placa do capacitor que não contém o dielétrico, (d) o campo elétrico total entre as placas do capacitor na região preenchida pelo dielétrico e, (e) o campo elétrico total no interior do capacitor na região que não está preenchida pelo dielétrico. Comente suas respostas aos itens (a) a (d). (f) Mantendo a bateria ligada, o bloco será puxado para dentro ou para fora do capacitor? Justifique sua resposta e faça considerações acerca da energia acumulada no capacitor antes e depois de inserir a placa dielétrica.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O problema nos pede para analisar um capacitor conectado a uma bateria de diferença de potencial enquanto inserimos um bloco dielétrico entre as suas placas. A gente vai precisar usar conceitos de capacitores, dielétricos, campo elétrico e densidade de carga. Vamos resolver passo a passo os itens de (a) a (f).

Passo 2

Item (a): Determinar a carga total do capacitor em função de C = kappa varepsilon0 A xd + varepsilon0 A (1 - x)d = varepsilon0 Ad ( kappa x + (1 - x) ) .
Primeiro, lembrando que um capacitor sem dielétrico tem capacitância Q = C V = varepsilon0 A Vd ( kappa x + 1 - x ) = varepsilon0 A Vd (1 + x(kappa - 1)) , onde é a área das placas e a distância entre elas. Quando inserimos um dielétrico com constante dielétrica ocupando uma fração da área, a capacitância total passa a depender de .
A capacitância com dielétrico parcialmente inserido é dada por:
Como a bateria está ligada, a diferença de potencial é constante, então a carga total no capacitor é:

Passo 3

Item (b): Determinar a densidade de cargas, sigma1 = Q x kappaA x = Q kappaA = varepsilon0 kappa Vd (1 + x(kappa - 1)) , na porção da placa do capacitor que contém o dielétrico.
A densidade de carga é a carga por unidade de área. Na região com dielétrico, a capacitância é aumentada pela constante , mas como o potencial é constante, a carga nessa região é proporcional a .
Então,

Passo 4

Item ©: Determinar a densidade de cargas, sigma2 = Q (1 - x)A (1 - x) = QA = varepsilon0 Vd (1 + x(kappa - 1)) , na porção da placa do capacitor que não contém o dielétrico.
Similarmente, na região sem dielétrico, a densidade de carga é:

Passo 5

Item (d): Determinar o campo elétrico total entre as placas do capacitor na região preenchida pelo dielétrico.
O campo elétrico E = sigmakappa varepsilon0 em uma região com dielétrico é dado por:
Edielétrico = sigma1kappa varepsilon0 = varepsilon0 kappa Vd (1 + x(kappa - 1))kappa varepsilon0 = Vd (1 + x(kappa - 1))
Substituindo :
é

Passo 6

Item (e): Determinar o campo elétrico total no interior do capacitor na região que não está preenchida pelo dielétrico.
Na região sem dielétrico, o campo elétrico é:
Esem dielétrico = sigma2varepsilon0 = varepsilon0 Vd (1 + x(kappa - 1))varepsilon0 = Vd (1 + x(kappa - 1)) é

Passo 7

Comentando os itens (a) a (d):
(a) Vemos que a carga total aumenta com se , já que o dielétrico permite maior armazenamento de carga.
(b) A densidade de carga na região com dielétrico é maior devido à constante dielétrica .
© Na região sem dielétrico, a densidade de carga é menor, refletindo a ausência do material que facilita o armazenamento de carga.
(d) O campo elétrico na região com dielétrico permanece o mesmo que na região sem dielétrico, ajustado pela presença do dielétrico.

Passo 8

Item (f): O bloco será puxado para dentro ou para fora do capacitor? Justifique e considere a energia acumulada.
Como a capacitância aumenta com a inserção do dielétrico e o potencial U = 12 C V^2 é constante, a energia armazenada no capacitor é:
Com aumentando, também aumenta. No entanto, em presença de forças eletrostáticas, o sistema tende a minimizar a energia. Portanto, a força resultante puxa o bloco para dentro do capacitor.

Resposta

Resumindo, ao inserir o dielétrico mantido a bateria ligada:
(a) A carga total do capacitor é .
(b) A densidade de carga na porção com dielétrico é .
© A densidade de carga na porção sem dielétrico é .
(d) O campo elétrico na região com dielétrico é é.
(e) O campo elétrico na região sem dielétrico é é.
(f) O bloco dielétrico será puxado para dentro do capacitor devido ao aumento da capacitância e à tendência do sistema de minimizar a energia armazenada.

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