Calcule a capacitância de uma esfera maciça isolante de raio
que tem a carga
que e coaxial um uma casca esférica condutora de raio
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa calcular a capacitância de um sistema formado por uma esfera isolante de raio
com carga
, que está alinhada concentricamente com uma casca esférica condutora de raio
. Para isso, vamos usar conceitos de capacitância e eletrostática, especialmente a fórmula para capacitância de esferas concêntricas.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é capacitância. A capacitância (
) é uma medida de quanto carga (
) um sistema pode armazenar por unidade de diferença de potencial elétrico (
) entre seus condutores. A fórmula básica é:
Então, para encontrar a capacitância, precisamos determinar a diferença de potencial entre a esfera isolante e a casca condutora.
Passo 3
Vamos calcular o potencial elétrico causado pela esfera isolante. Sabemos que o potencial
a uma distância
de uma carga pontual é dado por:
Como a esfera tem raio
, o potencial na superfície dela é:
Passo 4
Agora, consideramos a casca condutora de raio
. Como ela é condutora e está coaxial com a esfera isolante, o potencial na superfície interna da casca (
) será igual ao potencial na superfície externa da esfera isolante (
). Portanto:
Passo 5
A diferença de potencial entre a esfera isolante e a casca condutora é:
Mas isso não faz sentido fisicamente, então precisamos ajustar nossa abordagem. Na verdade, a casca condutora também influencia o potencial. A capacitância entre duas esferas concêntricas é dada por:
Essa fórmula leva em conta a geometria do sistema e a constante eletrostática
.
Resposta
A capacitância do sistema é: