Calcule a capacitância de uma esfera maciça isolante de raio A que tem a carga Q que e coaxial um uma casca esférica condutora de raio B.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa calcular a capacitância de um sistema formado por uma esfera isolante de raio com carga , que está alinhada concentricamente com uma casca esférica condutora de raio . Para isso, vamos usar conceitos de capacitância e eletrostática, especialmente a fórmula para capacitância de esferas concêntricas.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é capacitância. A capacitância ( C = QV ) é uma medida de quanto carga ( ) um sistema pode armazenar por unidade de diferença de potencial elétrico ( ) entre seus condutores. A fórmula básica é:
Então, para encontrar a capacitância, precisamos determinar a diferença de potencial entre a esfera isolante e a casca condutora.

Passo 3

Vamos calcular o potencial elétrico causado pela esfera isolante. Sabemos que o potencial V = 14pivarepsilon0 cdot Qr a uma distância VA = 14pivarepsilon0 cdot QA de uma carga pontual é dado por:
Como a esfera tem raio , o potencial na superfície dela é:

Passo 4

Agora, consideramos a casca condutora de raio VB = VA = 14pivarepsilon0 cdot QA . Como ela é condutora e está coaxial com a esfera isolante, o potencial na superfície interna da casca ( ) será igual ao potencial na superfície externa da esfera isolante ( ). Portanto:

Passo 5

A diferença de potencial entre a esfera isolante e a casca condutora é:
De
Mas isso não faz sentido fisicamente, então precisamos ajustar nossa abordagem. Na verdade, a casca condutora também influencia o potencial. A capacitância entre duas esferas concêntricas é dada por:
C = 4pivarepsilon0 cdot ABB - A
Essa fórmula leva em conta a geometria do sistema e a constante eletrostática .

Resposta

A capacitância do sistema é:
C = 4pivarepsilon0 cdot ABB - A

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