Quando um chuveiro é aberto em um banheiro fechado, os respingos de água no piso do boxe podem encher o ar de ions negativos e produzir um campo elétrico no ar de até 1000 N/C. Considere um banheiro de dimensões 2,0 m times 2,0 m times 3,0 m. Suponha que no teto, no piso e nas quatro paredes o campo elétrico no ar é perpendicular à superfície e possui um módulo uniforme de 600 N/C. Suponha também que o teto, o piso e as paredes formam uma superficie gaussiana que envolve o ar do banheiro. A densidade volumétrica de cargas elétricas distribuídas no banheiro é dada por:
( ) 1,2 times 10^8 C / m^3

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão tá pedindo. Temos um banheiro fechado com dimensões de 2,0 m x 2,0 m x 3,0 m. Quando o chuveiro é ligado, os respingos de água produzem íons negativos que criam um campo elétrico no ar. No caso, o campo elétrico tem um módulo de 600 N/C e é perpendicular às superfícies do teto, piso e paredes, formando uma superfície gaussiana que envolve todo o ar do banheiro. A gente precisa encontrar a densidade volumétrica de cargas elétricas distribuídas no banheiro.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar da Lei de Gauss. Essa lei nos ajuda a relacionar o campo elétrico com a carga que está causando esse campo. A fórmula da Lei de Gauss é:
PhiE = Qencvarepsilon0
Onde:
  • é o fluxo elétrico através da superfície fechada.
  • é a carga total dentro da superfície.
  • é a permissividade do vácuo, que vale aproximadamente .

Passo 3

Agora, vamos calcular o fluxo elétrico ( Área total = 2 times 6,0 , m^2 + 2 times 6,0 , m^2 + 2 times 4,0 , m^2 = 12,0 + 12,0 + 8,0 = 32,0 , m^2 ). Como o campo elétrico é uniforme e perpendicular às superfícies, o fluxo elétrico é simplesmente o campo elétrico multiplicado pela área total das superfícies.
As dimensões do banheiro são 2,0 m x 2,0 m x 3,0 m. Vamos calcular a área de cada parte:
  • Teto e piso: PhiE = E times Área total = 600 , N/C times 32,0 , m^2 = 19.200 , N cdot m^2/C cada.
  • Duas paredes de 2,0 m x 3,0 m: cada.
  • Duas paredes de 2,0 m x 2,0 m: cada.
Agora, somando todas as áreas:
Á
Então, o fluxo elétrico é:
Á

Passo 4

Agora que temos o fluxo elétrico, podemos usar a Lei de Gauss para encontrar a carga total dentro do banheiro:
PhiE = Qencvarepsilon0 implies Qenc = PhiE times varepsilon0 = 19.200 , N cdot m^2/C times 8,85 times 10^-12 , C^2/N cdot m^2 = 1,700 times 10^-7 , C

Passo 5

Por último, queremos a densidade volumétrica de carga ( Volume = 2,0 , m times 2,0 , m times 3,0 , m = 12,0 , m^3 ), que é a carga dividida pelo volume do banheiro. Vamos calcular o volume:
rho = QencVolume = 1,700 times 10^-7 , C12,0 , m^3 approx 1,42 times 10^-8 , C/m^3
Então, a densidade volumétrica é:

Resposta

A densidade volumétrica de cargas elétricas distribuídas no banheiro é aproximadamente .

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