Quando um chuveiro é aberto em um banheiro fechado, os respingos de água no piso do boxe podem encher o ar de ions negativos e produzir um campo elétrico no ar de até 1000 N/C. Considere um banheiro de dimensões 2,0 m times 2,0 m times 3,0 m. Suponha que no teto, no piso e nas quatro paredes o campo elétrico no ar é perpendicular à superfície e possui um módulo uniforme de 600 N/C. Suponha também que o teto, o piso e as paredes formam uma superficie gaussiana que envolve o ar do banheiro. A densidade volumétrica de cargas elétricas distribuídas no banheiro é dada por:
( ) 1,6 times 10^-8 C / m^3

Passo 1

Vamos resumir o que a questão está pedindo. Temos um banheiro fechado com dimensões de 2,0 m x 2,0 m x 3,0 m. Quando o chuveiro está ligado, os respingos de água geram íons negativos que criam um campo elétrico no ar com módulo de até 1000 N/C. No entanto, é dado que o campo elétrico nas superfícies do teto, piso e paredes é de 600 N/C e perpendicular a essas superfícies. A matéria que vamos usar para resolver esse problema é a Lei de Gauss da eletrostática, que relaciona o fluxo do campo elétrico com a carga elétrica presente. Precisamos encontrar a densidade volumétrica de cargas elétricas distribuídas no ar do banheiro.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar a Lei de Gauss, que é dada por:
oint E cdot dA = Qintvarepsilon0
Onde:
  • é o campo elétrico,
  • é o elemento de área da superfície gaussiana,
  • é a carga elétrica total dentro da superfície,
  • é a permissividade do vácuo ( ).

Passo 3

Como o campo elétrico é uniforme e perpendicular às superfícies do teto, piso e paredes, podemos simplificar o cálculo do fluxo elétrico. O fluxo elétrico total será a soma dos fluxos através de todas as superfícies.
Vamos calcular a área total do banheiro:
Área total = 2 times (área do teto + área das paredes) Ááá
A área do teto é Área total = 2 times (4,0 , m^2 + 24,0 , m^2) = 2 times 28,0 , m^2 = 56,0 , m^2 .
As paredes laterais têm dimensões 2,0 m x 3,0 m, então a área de cada uma é . Como são 4 paredes, a área total das paredes é .
Portanto,
Á

Passo 4

Agora, calculamos o fluxo elétrico total:
Phi = E times Área total = 600 , N/C times 56,0 , m^2 = 33.600 , N cdot m^2/C Á

Passo 5

Aplicando a Lei de Gauss para encontrar a carga elétrica total dentro do banheiro:
Phi = Qintvarepsilon0 Rightarrow Qint = Phi times varepsilon0 = 33.600 , N cdot m^2/C times 8,85 times 10^-12 , C^2/Ncdotm^2 = 2,974 times 10^-7 , C

Passo 6

Agora, vamos encontrar a densidade volumétrica de cargas elétricas ( Volume = 2,0 , m times 2,0 , m times 3,0 , m = 12,0 , m^3 ). A densidade volumétrica é definida como a carga por unidade de volume. Primeiro, calculamos o volume do banheiro:
rho = QintVolume = 2,974 times 10^-7 , C12,0 , m^3 = 2,478 times 10^-8 , C/m^3
Então,

Resposta

A densidade volumétrica de cargas elétricas distribuídas no banheiro é aproximadamente .

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