(A) Calcule a capacitância de uma esfera metálica de 10 cm de raio. (B) Calcule a energia de seu campo se a esfera estiver a um potencial de 100 V em relação ao infinito.
Resposta: (A) 11 p F ; (B) 55 n J.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão tem duas partes: (A) calcular a capacitância de uma esfera metálica de 10 cm de raio e (B) calcular a energia do campo elétrico quando a esfera está a 100 V em relação ao infinito. Vamos usar conceitos de eletrostática, especificamente capacitância de condutores esféricos e energia armazenada no campo elétrico. Precisaremos das fórmulas para capacitância de uma esfera e para a energia do campo elétrico.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular a capacitância da esfera metálica. A capacitância C = 4pi varepsilon0 R de uma esfera de raio isolada é dada pela fórmula:
Onde:
  • é a permissividade do vácuo, aproximadamente
  • é o raio da esfera

Passo 3

Vamos converter o raio de 10 cm para metros, já que a unidade padrão de capacitância usa metros.
R = 10 , cm = 0,10 , m

Passo 4

Agora, substituímos os valores na fórmula da capacitância:
C = 4pi times 8,85 times 10^-12 , F/m times 0,10 , m

Passo 5

Fazendo a conta:
C = 4pi times 8,85 times 10^-12 times 0,10
C approx 4 times 3,1416 times 8,85 times 10^-12 times 0,10
C approx 11 times 10^-12 , F = 11 , pF

Passo 6

Agora, vamos para a parte (B), calcular a energia do campo elétrico quando a esfera está a 100 V. A energia U = 12 C V^2 armazenada em um campo elétrico de uma esfera é dada por:
Onde:
  • é a capacitância
  • é o potencial

Passo 7

Substituindo os valores que já encontramos e o potencial fornecido:
U = 12 times 11 times 10^-12 , F times (100 , V)^2

Passo 8

Calculando:
U = 12 times 11 times 10^-12 times 10^4
U = 12 times 11 times 10^-8
U = 5,5 times 10^-8 , J = 55 , nJ

Resposta

(A) ; (B) .

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