Mostre que a energia acumulada no campo gerado tanto por um plano infinito uniformemente carregado como em um fio retilíneo uniformemente carregado é infinita. Como entender esses resultados?
Resposta: -

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para mostrarmos que a energia armazenada no campo elétrico gerado por um plano infinito uniformemente carregado e por um fio retilíneo uniformemente carregado é infinita. Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de campo elétrico e energia de campo na matéria de Eletrostática. A ideia é calcular a energia armazenada nos campos produzidos por essas configurações de carga e ver por que elas resultam em valores infinitos.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar como calcular a energia armazenada em um campo elétrico. A fórmula geral para a energia U = 12 epsilon0 integral E^2 , dV em um campo elétrico é:
Aqui, é a permissividade do vácuo, é o campo elétrico, e a integral é feita sobre todo o espaço onde o campo está presente.

Passo 3

Vamos começar analisando o caso do plano infinito. O campo elétrico gerado por um plano infinito com densidade de carga superficial E = sigma2 epsilon0 é uniforme e dado por:
Esse campo é constante em magnitude e direção e se estende infinitamente em todas as direç��es paralelas ao plano.

Passo 4

Agora, vamos calcular a energia armazenada nesse campo. Substituindo U = 12 epsilon0 integral ( sigma2 epsilon0 )^2 , dV = 12 epsilon0 ( sigma^24 epsilon0^2 ) integral dV = sigma^28 epsilon0 integral dV na fórmula da energia:
Percebemos que a integral representa o volume total onde o campo está presente. Como o plano é infinito, esse volume também é infinito, resultando em infinito.

Passo 5

Vamos agora analisar o caso do fio retilíneo infinito com densidade linear de carga E = lambda2 pi epsilon0 r . O campo elétrico em torno de um fio infinito é dado por:
onde é a distância do fio. Esse campo decai com e se estende ao longo de todo o espaço ao redor do fio.

Passo 6

Para calcular a energia armazenada no campo do fio, usamos novamente a fórmula da energia:
U = 12 epsilon0 integral E^2 , dV = 12 epsilon0 integral ( lambda2 pi epsilon0 r )^2 , dV = lambda^28 pi^2 epsilon0 integral 1r^2 , dV
Convertendo para coordenadas cilíndricas, onde U = lambda^28 pi^2 epsilon0 integral 1r^2 cdot 2 pi r L dr = lambda^2 L4 pi epsilon0 integral 1r dr (com tendendo ao infinito para o fio infinito):
A integral diverge quando se estende de 0 a infinito, o que significa que também é infinito.

Resposta

Portanto, a energia armazenada nos campos elétricos de um plano infinito e de um fio retilíneo infinito uniformemente carregados é infinita. Isso ocorre porque, nesses casos, os campos se estendem por todo o espaço sem decaimento suficiente para tornar a integral da energia convergente.

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