Mostre que a energia acumulada no campo gerado tanto por um plano infinito uniformemente carregado como em um fio retilíneo uniformemente carregado é infinita. Como entender esses resultados?
Resposta: -
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Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para mostrarmos que a energia armazenada no campo elétrico gerado por um plano infinito uniformemente carregado e por um fio retilíneo uniformemente carregado é infinita. Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de campo elétrico e energia de campo na matéria de Eletrostática. A ideia é calcular a energia armazenada nos campos produzidos por essas configurações de carga e ver por que elas resultam em valores infinitos.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar como calcular a energia armazenada em um campo elétrico. A fórmula geral para a energia
em um campo elétrico é:
Aqui,
é a permissividade do vácuo,
é o campo elétrico, e a integral é feita sobre todo o espaço onde o campo está presente.
Passo 3
Vamos começar analisando o caso do plano infinito. O campo elétrico gerado por um plano infinito com densidade de carga superficial
é uniforme e dado por:
Esse campo é constante em magnitude e direção e se estende infinitamente em todas as direç��es paralelas ao plano.
Passo 4
Agora, vamos calcular a energia armazenada nesse campo. Substituindo
na fórmula da energia:
Percebemos que a integral
representa o volume total onde o campo está presente. Como o plano é infinito, esse volume também é infinito, resultando em
infinito.
Passo 5
Vamos agora analisar o caso do fio retilíneo infinito com densidade linear de carga
. O campo elétrico em torno de um fio infinito é dado por:
onde
é a distância do fio. Esse campo decai com
e se estende ao longo de todo o espaço ao redor do fio.
Passo 6
Para calcular a energia armazenada no campo do fio, usamos novamente a fórmula da energia:
Convertendo para coordenadas cilíndricas, onde
(com
tendendo ao infinito para o fio infinito):
A integral
diverge quando
se estende de 0 a infinito, o que significa que
também é infinito.
Resposta
Portanto, a energia armazenada nos campos elétricos de um plano infinito e de um fio retilíneo infinito uniformemente carregados é infinita. Isso ocorre porque, nesses casos, os campos se estendem por todo o espaço sem decaimento suficiente para tornar a integral da energia convergente.
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, preso à extremidade livre de uma mola de constante elástica
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. Considerando
, encontre o módulo da velocidade máxima do bloco.
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Resposta: (A) (B)
.
Resposta: (A)