Em sete vértices de um cubo de lado encontram-se cargas elétricas. Calcule campo elétrico em oitavo vértice considerando que a carga encontra-se em vértice , as cargas de valor ocupam vértices , e as cargas de valor ocupam vértices , . Qual deveria ser valor da carga elétrica no centro de cubo para o campo elétrico se anular no ponto ?

Passo 1

Beleza, vamos lá! Temos um cubo com lado de comprimento e cargas elétricas distribuídas em sete dos seus vértices. Queremos calcular o campo elétrico no oitavo vértice e descobrir qual valor a carga no centro do cubo deve ter para que esse campo se anule. Para resolver isso, vamos precisar entender como calcular o campo elétrico devido a cargas pontuais e somar os campos gerados por cada carga no ponto de interesse.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que o campo elétrico criado por uma carga pontual em um ponto distante é dado pela fórmula:
onde:
  • é a constante eletrostática ( ),
  • é a carga,
  • é a distância entre a carga e o ponto onde estamos calculando o campo,
  • é o vetor unitário na direção de .

Passo 3

Vamos identificar as posições das cargas:
  • está no vértice ,
  • está nos vértices , e ,
  • está nos vértices , e .
Nosso ponto de interesse para calcular o campo elétrico é .

Passo 4

Agora, vamos calcular a distância entre cada carga e o ponto :
  • Para em :
  • Para cada nos vértices , e :
  • Para cada nos vértices , e :

Passo 5

Agora, vamos calcular o campo elétrico gerado por cada tipo de carga no ponto :
  • Campo devido a :
  • Campo devido a cada :
  • Campo devido a cada :

Passo 6

Vamos agora considerar as direções dos campos. Como estamos buscando a anulação no ponto , precisamos somar vetorialmente todos os campos e igualar a soma a zero. Além disso, devemos considerar que os campos produzidos pelas cargas simétricas se cancelam entre si devido à simetria do cubo.
Portanto, após a soma vetorial, teremos uma relação onde o campo gerado pela carga no centro do cubo deve anular o campo resultante das demais cargas.

Passo 7

Finalmente, para que o campo elétrico no ponto se anule, a carga no centro do cubo deve satisfazer:

Resposta

A carga elétrica no centro do cubo deve ser:

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