Em sete vértices de um cubo de lado
encontram-se cargas elétricas. Calcule campo elétrico em oitavo vértice
considerando que a carga
encontra-se em vértice
, as cargas de valor
ocupam vértices
,
e as cargas de valor
ocupam vértices
,
. Qual deveria ser valor da carga elétrica no centro de cubo para o campo elétrico se anular no ponto
?
Passo 1
Beleza, vamos lá! Temos um cubo com lado de comprimento
e cargas elétricas distribuídas em sete dos seus vértices. Queremos calcular o campo elétrico no oitavo vértice
e descobrir qual valor a carga no centro do cubo deve ter para que esse campo se anule. Para resolver isso, vamos precisar entender como calcular o campo elétrico devido a cargas pontuais e somar os campos gerados por cada carga no ponto de interesse.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que o campo elétrico
criado por uma carga pontual
em um ponto distante é dado pela fórmula:
onde:
-
é a constante eletrostática ( ), -
é a carga, -
é a distância entre a carga e o ponto onde estamos calculando o campo, -
é o vetor unitário na direção de .
Passo 3
Vamos identificar as posições das cargas:
-
está no vértice , -
está nos vértices , e , -
está nos vértices , e .
Nosso ponto de interesse para calcular o campo elétrico é
.
Passo 4
Agora, vamos calcular a distância entre cada carga e o ponto
:
-
Para
em : -
Para cada
nos vértices , e : -
Para cada
nos vértices , e :
Passo 5
Agora, vamos calcular o campo elétrico gerado por cada tipo de carga no ponto
:
-
Campo devido a
: -
Campo devido a cada
: -
Campo devido a cada
:
Passo 6
Vamos agora considerar as direções dos campos. Como estamos buscando a anulação no ponto
, precisamos somar vetorialmente todos os campos e igualar a soma a zero. Além disso, devemos considerar que os campos produzidos pelas cargas simétricas se cancelam entre si devido à simetria do cubo.
Portanto, após a soma vetorial, teremos uma relação onde o campo gerado pela carga no centro do cubo
deve anular o campo resultante das demais cargas.
Passo 7
Finalmente, para que o campo elétrico no ponto
se anule, a carga no centro do cubo
deve satisfazer:
Resposta
A carga elétrica no centro do cubo deve ser: