Em sete vértices de um cubo de lado a encontram-se cargas elétricas. Calcule campo elétrico em oitavo vértice (a, a, a) considerando que a carga Q1 encontra-se em vértice (0,0,0), as cargas de valor Q2 ocupam vértices (a, 0,0),(0, a, 0), (0,0, a) e as cargas de valor Q3 ocupam vértices (0, a, a), (a, 0, a) e(0, a, a). Qual deveria ser valor da carga elétrica no centro de cubo para o campo elétrico se anular no ponto (a, a, a) ?

Passo 1

Beleza, vamos lá! Temos um cubo com lado de comprimento e cargas elétricas distribuídas em sete dos seus vértices. Queremos calcular o campo elétrico no oitavo vértice e descobrir qual valor a carga no centro do cubo deve ter para que esse campo se anule. Para resolver isso, vamos precisar entender como calcular o campo elétrico devido a cargas pontuais e somar os campos gerados por cada carga no ponto de interesse.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que o campo elétrico E = k Qr^2 r criado por uma carga pontual em um ponto distante é dado pela fórmula:
onde:
  • é a constante eletrostática ( ),
  • é a carga,
  • é a distância entre a carga e o ponto onde estamos calculando o campo,
  • é o vetor unitário na direção de .

Passo 3

Vamos identificar as posições das cargas:
  • está no vértice ,
  • está nos vértices , e ,
  • está nos vértices , e .
Nosso ponto de interesse para calcular o campo elétrico é .

Passo 4

Agora, vamos calcular a distância entre cada carga e o ponto r1 = raiz(a-0)^2 + (a-0)^2 + (a-0)^2 = raiz3a^2 = araiz3 :
  • Para r2 = raiz(a-a)^2 + (a-0)^2 + (a-0)^2 = raiz0 + a^2 + a^2 = araiz2 em r3 = raiz(a-0)^2 + (a-a)^2 + (a-a)^2 = raiza^2 + 0 + 0 = a :
  • Para cada nos vértices , e :
  • Para cada nos vértices , e :

Passo 5

Agora, vamos calcular o campo elétrico gerado por cada tipo de carga no ponto E1 = k Q1(araiz3)^2 r1 = k Q13a^2 r1 :
  • Campo devido a E2 = k Q2(araiz2)^2 r2 = k Q22a^2 r2 :
    E3 = k Q3a^2 r3
  • Campo devido a cada :
  • Campo devido a cada :

Passo 6

Vamos agora considerar as direções dos campos. Como estamos buscando a anulação no ponto , precisamos somar vetorialmente todos os campos e igualar a soma a zero. Além disso, devemos considerar que os campos produzidos pelas cargas simétricas se cancelam entre si devido à simetria do cubo.
Portanto, após a soma vetorial, teremos uma relação onde o campo gerado pela carga no centro do cubo deve anular o campo resultante das demais cargas.

Passo 7

Finalmente, para que o campo elétrico no ponto Qc = - 3Q1 + 3Q2 + 3Q3k se anule, a carga no centro do cubo deve satisfazer:

Resposta

A carga elétrica no centro do cubo deve ser:
Qc = - 3(Q1 + Q2 + Q3)k

Exercícios relacionados