Na superficie de uma casca esférica fina de raio
encontrase a carga elétrica
uniformemente distribuida
const. Calcule o campo elétrico em todo espaço (dentro e fora da casca). Utilize a formula para o campo elétrico de um anel fino derivada na aula. Faça a decomposicão da casca em um numero infinito de aneis.
Passo 1
Beleza, vamos lá! Temos uma casca esférica fina com raio
e carga total
distribuída uniformemente. A ideia é calcular o campo elétrico em qualquer ponto do espaço, tanto dentro quanto fora da casca. Para isso, vamos usar a ideia de decompor a casca em um montão de anéis finos e somar os campos elétricos de cada anel. Vamos precisar das fórmulas de campo elétrico de um anel fino e integrar sobre todos os anéis que formam a casca.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar como calcular o campo elétrico produzido por um anel de carga. Imagine um anel fino com raio
e carga
distribuída igualmente. No eixo do anel, a distância de um ponto
ao anel é
. O componente do campo elétrico na direção do eixo é dado por:
Aqui,
é o campo elétrico produzido por um anel infinitesimal de carga
no ponto
.
Passo 3
Agora, vamos relacionar a carga de cada anel com a distribuição de carga na casca esférica. A densidade de carga superficial é constante,
. Considerando um anel a uma latitude
na esfera, a largura infinitesimal desse anel é
. A carga nesse anel é:
Passo 4
Vamos expressar a distância
em termos de
. Se estamos calculando o campo em algum ponto ao longo do eixo do anel, a distância do centro da esfera até o ponto
é
. A relação geométrica nos dá
. Substituindo isso na expressão do campo elétrico:
Simplificando a expressão dentro da potência:
Portanto,
Passo 5
Para encontrar o campo total
, integramos
de
até
:
Essa integral pode ser resolvida usando substituições trigonométricas ou propriedades de simetria, mas sabemos pelo teorema de Gauss que para uma distribuição de carga esférica uniforme:
- Dentro da casca (
): O campo elétrico é zero. - Fora da casca (
): O campo elétrico é semelhante ao de uma carga pontual, dado por:
Resposta
O campo elétrico gerado pela casca esférica é zero em qualquer ponto interno à casca (
) e, para pontos externos à casca (
), o campo elétrico é igual ao de uma carga pontual
no centro da casca, ou seja:
Exercícios relacionados
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encontra-se em vértice
, as cargas de valor
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,
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ocupam vértices
,
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e
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.
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onde
const.