Na superficie de uma casca esférica fina de raio R encontrase a carga elétrica Q uniformemente distribuida sigma0= const. Calcule o campo elétrico em todo espaço (dentro e fora da casca). Utilize a formula para o campo elétrico de um anel fino derivada na aula. Faça a decomposicão da casca em um numero infinito de aneis.

Passo 1

Beleza, vamos lá! Temos uma casca esférica fina com raio R e carga total Q distribuída uniformemente. A ideia é calcular o campo elétrico em qualquer ponto do espaço, tanto dentro quanto fora da casca. Para isso, vamos usar a ideia de decompor a casca em um montão de anéis finos e somar os campos elétricos de cada anel. Vamos precisar das fórmulas de campo elétrico de um anel fino e integrar sobre todos os anéis que formam a casca.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar como calcular o campo elétrico produzido por um anel de carga. Imagine um anel fino com raio a e carga dq distribuída igualmente. No eixo do anel, a distância de um ponto P ao anel é x. O componente do campo elétrico na direção do eixo é dado por:
dE = 14pivarepsilon0 cdot dq cdot x(x^2 + a^2)^3/2
Aqui, dE é o campo elétrico produzido por um anel infinitesimal de carga dq no ponto P.

Passo 3

Agora, vamos relacionar a carga de cada anel com a distribuição de carga na casca esférica. A densidade de carga superficial é constante, sigma0 = Q4pi R^2. Considerando um anel a uma latitude theta na esfera, a largura infinitesimal desse anel é R dtheta. A carga nesse anel é:
dq = sigma0 cdot 2pi R sintheta cdot R dtheta = sigma0 cdot 2pi R^2 sintheta dtheta

Passo 4

Vamos expressar a distância x em termos de theta. Se estamos calculando o campo em algum ponto ao longo do eixo do anel, a distância do centro da esfera até o ponto P é r. A relação geométrica nos dá x = r - R costheta. Substituindo isso na expressão do campo elétrico:
dE = 14pivarepsilon0 cdot sigma0 cdot 2pi R^2 sintheta dtheta cdot (r - R costheta)( (r - R costheta)^2 + (R sintheta)^2 )^3/2
Simplificando a expressão dentro da potência:
(r - R costheta)^2 + (R sintheta)^2 = r^2 - 2rR costheta + R^2 cos^2theta + R^2 sin^2theta = r^2 - 2rR costheta + R^2
Portanto,
dE = sigma0 R^2 sintheta dtheta (r - R costheta)2varepsilon0 (r^2 + R^2 - 2rR costheta)^3/2

Passo 5

Para encontrar o campo total E, integramos dE de theta = 0 até theta = pi:
E = integral0^pi sigma0 R^2 sintheta (r - R costheta)2varepsilon0 (r^2 + R^2 - 2rR costheta)^3/2 dtheta
Essa integral pode ser resolvida usando substituições trigonométricas ou propriedades de simetria, mas sabemos pelo teorema de Gauss que para uma distribuição de carga esférica uniforme:
  • Dentro da casca ( r < R): O campo elétrico é zero.
  • Fora da casca ( r > R): O campo elétrico é semelhante ao de uma carga pontual, dado por:
E = 14pivarepsilon0 cdot Qr^2

Resposta

O campo elétrico gerado pela casca esférica é zero em qualquer ponto interno à casca ( r < R) e, para pontos externos à casca ( r > R), o campo elétrico é igual ao de uma carga pontual Q no centro da casca, ou seja:
E = 14pivarepsilon0 cdot Qr^2

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