Na superficie de uma casca esférica fina de raio encontrase a carga elétrica uniformemente distribuida const. Calcule o campo elétrico em todo espaço (dentro e fora da casca). Utilize a formula para o campo elétrico de um anel fino derivada na aula. Faça a decomposicão da casca em um numero infinito de aneis.

Passo 1

Beleza, vamos lá! Temos uma casca esférica fina com raio e carga total distribuída uniformemente. A ideia é calcular o campo elétrico em qualquer ponto do espaço, tanto dentro quanto fora da casca. Para isso, vamos usar a ideia de decompor a casca em um montão de anéis finos e somar os campos elétricos de cada anel. Vamos precisar das fórmulas de campo elétrico de um anel fino e integrar sobre todos os anéis que formam a casca.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar como calcular o campo elétrico produzido por um anel de carga. Imagine um anel fino com raio e carga distribuída igualmente. No eixo do anel, a distância de um ponto ao anel é . O componente do campo elétrico na direção do eixo é dado por:
Aqui, é o campo elétrico produzido por um anel infinitesimal de carga no ponto .

Passo 3

Agora, vamos relacionar a carga de cada anel com a distribuição de carga na casca esférica. A densidade de carga superficial é constante, . Considerando um anel a uma latitude na esfera, a largura infinitesimal desse anel é . A carga nesse anel é:

Passo 4

Vamos expressar a distância em termos de . Se estamos calculando o campo em algum ponto ao longo do eixo do anel, a distância do centro da esfera até o ponto é . A relação geométrica nos dá . Substituindo isso na expressão do campo elétrico:
Simplificando a expressão dentro da potência:
Portanto,

Passo 5

Para encontrar o campo total , integramos de até :
Essa integral pode ser resolvida usando substituições trigonométricas ou propriedades de simetria, mas sabemos pelo teorema de Gauss que para uma distribuição de carga esférica uniforme:
  • Dentro da casca ( ): O campo elétrico é zero.
  • Fora da casca ( ): O campo elétrico é semelhante ao de uma carga pontual, dado por:

Resposta

O campo elétrico gerado pela casca esférica é zero em qualquer ponto interno à casca ( ) e, para pontos externos à casca ( ), o campo elétrico é igual ao de uma carga pontual no centro da casca, ou seja:

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