(1, 0) Se lim (x, y) (1,1)x f(x, y)+e^y-x[ln (x^2-y^2)-ln (x-y)]=ln 2, determine o valor de lim (x, y) (1,1) f(x, y).

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem a seguinte situação:
lim (x, y) (1,1)x f(x, y)+e^y-x[ln (x^2-y^2)-ln (x-y)] = ln 2
O que a gente precisa descobrir é o valor de . Para resolver isso, vamos usar conhecimentos de limites, propriedades dos logaritmos e manipulação algébrica.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar a parte que envolve os logaritmos. Observe que:
ln(x^2 - y^2) - ln(x - y) = ln( x^2 - y^2x - y )
Isso porque uma das propriedades dos logaritmos diz que x^2 - y^2x - y = (x - y)(x + y)x - y = x + y .
Agora, vamos simplificar a fração dentro do logaritmo:
ln(x + y)
Então, a expressão fica:

Passo 3

Substituindo essa simplificação na expressão original, temos:
lim (x, y) (1,1)x f(x, y) + e^y-x ln(x + y) = ln 2
Agora, vamos analisar o comportamento de cada parte quando 1 cdot lim (x, y) (1,1) f(x, y) + 1 cdot ln 2 = ln 2 se aproxima de :
  1. se aproxima de 1.
  2. se aproxima de 0, então se aproxima de .
  3. se aproxima de , então se aproxima de .
Portanto, a expressão fica:

Passo 4

Vamos chamar 1 cdot L + ln 2 = ln 2 . Substituindo na equação acima:
L + ln 2 = ln 2
Simplificando:
L = 0
Subtraindo de ambos os lados:

Resposta

O valor de é 0.

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