Calcule, caso exista, cada um dos limites abaixo. Se não existir, justifique. Além disso, procure observar (mesmo que implicitamente) qual é o domínio da função.
.
Passo 1
Beleza, vamos calcular o limite quando
se aproxima de 0 para a função
. Aqui, estamos lidando com o conceito de limites na matemática, que nos ajuda a entender o comportamento de uma função perto de um ponto específico. Para resolver isso, vamos precisar simplificar a expressão e verificar o domínio da função.
Passo 2
Primeiro, vamos dar uma olhada na expressão
. Note que o denominador é
, então
não pode ser igual a 0 porque não dá para dividir por zero. Isso já nos dá uma pista sobre o domínio da função, que será todos os números reais exceto
.
Passo 3
Agora, vamos simplificar a expressão para facilitar o cálculo do limite. Podemos fatorar o numerador:
Aqui, podemos cancelar o
no numerador e no denominador (desde que
):
Passo 4
Depois de simplificar, a expressão ficou bem mais fácil:
. Agora, queremos saber o que acontece com
quando
se aproxima de 0. Simplesmente substituímos
por 0 na expressão:
Resposta
O limite quando
se aproxima de 0 para
é 1.
Exercícios relacionados
Determine o valor da soma
. Justifique sua resposta.
Mostre que
para os valores nos quais a série converge; Sugestão: Note que
.
Calcule as derivadas das funções a seguir usando as regras de derivação estudadas.
Determine uma representação em série de pontências para a derivada da função
, ou seja, para
. Determine o raio de convergência da série obtida.