Mostre que f(x)=-sumn=0^infty 1n+1(x+1)^n+1 para os valores nos quais a série converge; Sugestão: Note que 1x=11+x-1.

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no que o exercício está pedindo. Precisamos mostrar que a função é válida para os valores de onde a série converge. Para isso, vamos usar conceitos de séries infinitas e propriedades de funções. Vamos precisar entender como manipular séries e aplicar fórmulas que facilitem a nossa vida na resolução.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar a expressão da série. Note que podemos reescrever f(x) = -sumn=0^infty (x+1)^n+1n+1 = - (x+1) sumn=0^infty (x+1)^nn+1 como . Assim, a série fica:

Passo 3

Agora, vamos focar na série . Para lidar com essa soma, podemos usar uma técnica de integração de séries. Sabemos que a soma geométrica é dada por para . Vamos relacionar isso com a nossa série.

Passo 4

Observe que nossa série tem um fator integral sumn=0^infty r^n , dr = sumn=0^infty r^n+1n+1 + C . Para eliminar esse denominador, podemos integrar a soma geométrica. Integramos ambos os lados da soma geométrica em relação a integral 11 - r , dr = -ln(1 - r) + C :
sumn=0^infty r^n+1n+1 = -ln(1 - r)
Como a série original converge para , a integral fica:
Desconsiderando a constante de integração, temos:

Passo 5

Aplicando isso à nossa série, onde sumn=0^infty (x+1)^n+1n+1 = -ln(1 - (x + 1)) = -ln(-x) , temos:
sumn=0^infty (x+1)^nn+1 = -ln(-x)x + 1
Portanto:

Passo 6

Voltando à expressão de f(x) = - (x+1) ( -ln(-x)x + 1 ) = ln(-x) :

Resposta

Assim, mostramos que para os valores de onde a série converge.

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