Mostre que para os valores nos quais a série converge; Sugestão: Note que .

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no que o exercício está pedindo. Precisamos mostrar que a função é válida para os valores de onde a série converge. Para isso, vamos usar conceitos de séries infinitas e propriedades de funções. Vamos precisar entender como manipular séries e aplicar fórmulas que facilitem a nossa vida na resolução.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar a expressão da série. Note que podemos reescrever como . Assim, a série fica:

Passo 3

Agora, vamos focar na série . Para lidar com essa soma, podemos usar uma técnica de integração de séries. Sabemos que a soma geométrica é dada por para . Vamos relacionar isso com a nossa série.

Passo 4

Observe que nossa série tem um fator . Para eliminar esse denominador, podemos integrar a soma geométrica. Integramos ambos os lados da soma geométrica em relação a :
Como a série original converge para , a integral fica:
Desconsiderando a constante de integração, temos:

Passo 5

Aplicando isso à nossa série, onde , temos:
Portanto:

Passo 6

Voltando à expressão de :

Resposta

Assim, mostramos que para os valores de onde a série converge.

Exercícios relacionados

Calcule as derivadas das funções a seguir usando as regras de derivação estudadas.
Racionalize o denominador:
Determine o valor da soma . Justifique sua resposta.
Calcule, caso exista, cada um dos limites abaixo. Se não existir, justifique. Além disso, procure observar (mesmo que implicitamente) qual é o domínio da função.
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