Mostre que
para os valores nos quais a série converge; Sugestão: Note que
.
Passo 1
Beleza, vamos dar uma olhada no que o exercício está pedindo. Precisamos mostrar que a função
é válida para os valores de
onde a série converge. Para isso, vamos usar conceitos de séries infinitas e propriedades de funções. Vamos precisar entender como manipular séries e aplicar fórmulas que facilitem a nossa vida na resolução.
Passo 2
Primeiro, vamos simplificar a expressão da série. Note que podemos reescrever
como
. Assim, a série fica:
Passo 3
Agora, vamos focar na série
. Para lidar com essa soma, podemos usar uma técnica de integração de séries. Sabemos que a soma geométrica é dada por
para
. Vamos relacionar isso com a nossa série.
Passo 4
Observe que nossa série tem um fator
. Para eliminar esse denominador, podemos integrar a soma geométrica. Integramos ambos os lados da soma geométrica em relação a
:
Como a série original converge para
, a integral fica:
Desconsiderando a constante de integração, temos:
Passo 5
Aplicando isso à nossa série, onde
, temos:
Portanto:
Passo 6
Voltando à expressão de
:
Resposta
Assim, mostramos que
para os valores de
onde a série converge.
Exercícios relacionados
Calcule as derivadas das funções a seguir usando as regras de derivação estudadas.
Racionalize o denominador:
Determine o valor da soma
. Justifique sua resposta.
Calcule, caso exista, cada um dos limites abaixo. Se não existir, justifique. Além disso, procure observar (mesmo que implicitamente) qual é o domínio da função.
.