Determine o valor da soma . Justifique sua resposta.

Passo 1

Vamos resolver o exercício que pede para determinar o valor da soma infinita . Este problema está relacionado com séries infinitas e, mais especificamente, com séries que envolvem termos com potências e denominadores lineares. Para resolver, vamos utilizar conhecimentos sobre séries geométricas e logaritmos naturais.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar a expressão da soma. Observamos que o índice de n começa em 0, então podemos fazer uma mudança de variável para facilitar. Vamos definir . Assim, quando , , e quando tende ao infinito, também tende ao infinito. A soma então fica:

Passo 3

Agora, reconhecemos que a soma se assemelha a uma série conhecida: a série geométrica com termos ajustados. Sabemos que:
para . Nesse caso, , que satisfaz a condição de convergência.

Passo 4

Aplicando a fórmula da série logarítmica com , temos:
Simplificando dentro do logaritmo:

Passo 5

Portanto, a soma fica:
Isso porque .

Resposta

O valor da soma é .

Exercícios relacionados

Mostre que para os valores nos quais a série converge; Sugestão: Note que .
Calcule as derivadas das funções a seguir usando as regras de derivação estudadas.
Calcule, caso exista, cada um dos limites abaixo. Se não existir, justifique. Além disso, procure observar (mesmo que implicitamente) qual é o domínio da função.
.
Calcule as derivadas das funções a seguir usando as regras de derivação estudadas.