Determine o valor da soma sumn=0^infty 12^n+1(n+1). Justifique sua resposta.

Passo 1

Vamos resolver o exercício que pede para determinar o valor da soma infinita sumn=0^infty 12^n+1(n+1). Este problema está relacionado com séries infinitas e, mais especificamente, com séries que envolvem termos com potências e denominadores lineares. Para resolver, vamos utilizar conhecimentos sobre séries geométricas e logaritmos naturais.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar a expressão da soma. Observamos que o índice de n começa em 0, então podemos fazer uma mudança de variável para facilitar. Vamos definir k = n + 1. Assim, quando n = 0, k = 1, e quando n tende ao infinito, k também tende ao infinito. A soma então fica:
sumn=0^infty 12^n+1(n+1) = sumk=1^infty 12^kk

Passo 3

Agora, reconhecemos que a soma sumk=1^infty 12^kk se assemelha a uma série conhecida: a série geométrica com termos ajustados. Sabemos que:
sumk=1^infty r^kk = -ln(1 - r)
para |r| < 1. Nesse caso, r = 12, que satisfaz a condição de convergência.

Passo 4

Aplicando a fórmula da série logarítmica com r = 12, temos:
sumk=1^infty 12^kk = -ln(1 - 12)
Simplificando dentro do logaritmo:
1 - 12 = 12

Passo 5

Portanto, a soma fica:
-ln(12) = ln(2)
Isso porque ln(1a) = -ln(a).

Resposta

O valor da soma é ln(2).

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