Determine o valor da soma
. Justifique sua resposta.
Passo 1
Vamos resolver o exercício que pede para determinar o valor da soma infinita
. Este problema está relacionado com séries infinitas e, mais especificamente, com séries que envolvem termos com potências e denominadores lineares. Para resolver, vamos utilizar conhecimentos sobre séries geométricas e logaritmos naturais.
Passo 2
Primeiro, vamos simplificar a expressão da soma. Observamos que o índice de n começa em 0, então podemos fazer uma mudança de variável para facilitar. Vamos definir
. Assim, quando
,
, e quando
tende ao infinito,
também tende ao infinito. A soma então fica:
Passo 3
Agora, reconhecemos que a soma
se assemelha a uma série conhecida: a série geométrica com termos ajustados. Sabemos que:
para
. Nesse caso,
, que satisfaz a condição de convergência.
Passo 4
Aplicando a fórmula da série logarítmica com
, temos:
Simplificando dentro do logaritmo:
Passo 5
Portanto, a soma fica:
Isso porque
.
Resposta
O valor da soma é
.