Calcule as derivadas das funções a seguir usando as regras de derivação estudadas.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para calcular a derivada da função
. Vamos usar regras de derivação, como a regra da cadeia, já que temos funções compostas aqui. Precisamos entender como derivar funções hiperbolicas e polinomiais.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar as camadas da nossa função para aplicar a regra da cadeia. Temos:
- Camada externa:
, onde . - Camada intermediária:
. - Camada interna:
.
Vamos derivar cada camada passo a passo.
Passo 3
Começamos derivando a camada externa. A derivada de
em relação a
é:
Isso significa que, ao derivar a camada externa, multiplicamos pela derivada da camada intermediária.
Passo 4
Agora, derivamos a camada intermediária
em relação a
. Usamos a regra do poder:
Então, a derivada da camada intermediária é
.
Passo 5
Finalmente, derivamos a camada interna
em relação a
:
Isso é direto, usando a regra da potência para
e a constante para
.
Passo 6
Agora, aplicamos a regra da cadeia multiplicando todas as derivadas que encontramos:
Substituindo:
Lembrando que
.
Passo 7
Simplificando a expressão:
Resposta
A derivada de
é:
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Calcule, caso exista, cada um dos limites abaixo. Se não existir, justifique. Além disso, procure observar (mesmo que implicitamente) qual é o domínio da função.
.
Determine o valor da soma
. Justifique sua resposta.
Determine uma representação em série de pontências para a derivada da função
, ou seja, para
. Determine o raio de convergência da série obtida.
Calcule as derivadas das funções a seguir usando as regras de derivação estudadas.
, onde
é uma constante