Calcule as derivadas das funções a seguir usando as regras de derivação estudadas.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para calcular a derivada da função . Vamos usar regras de derivação, como a regra da cadeia, já que temos funções compostas aqui. Precisamos entender como derivar funções hiperbolicas e polinomiais.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar as camadas da nossa função para aplicar a regra da cadeia. Temos:
  1. Camada externa: , onde .
  2. Camada intermediária: .
  3. Camada interna: .
Vamos derivar cada camada passo a passo.

Passo 3

Começamos derivando a camada externa. A derivada de em relação a é:
Isso significa que, ao derivar a camada externa, multiplicamos pela derivada da camada intermediária.

Passo 4

Agora, derivamos a camada intermediária em relação a . Usamos a regra do poder:
Então, a derivada da camada intermediária é .

Passo 5

Finalmente, derivamos a camada interna em relação a :
Isso é direto, usando a regra da potência para e a constante para .

Passo 6

Agora, aplicamos a regra da cadeia multiplicando todas as derivadas que encontramos:
Substituindo:
Lembrando que .

Passo 7

Simplificando a expressão:

Resposta

A derivada de é:

Exercícios relacionados

Calcule, caso exista, cada um dos limites abaixo. Se não existir, justifique. Além disso, procure observar (mesmo que implicitamente) qual é o domínio da função.
.
Determine o valor da soma . Justifique sua resposta.
Determine uma representação em série de pontências para a derivada da função , ou seja, para . Determine o raio de convergência da série obtida.
Calcule as derivadas das funções a seguir usando as regras de derivação estudadas.
, onde é uma constante