Determine uma representação em série de pontências para a derivada da função , ou seja, para . Determine o raio de convergência da série obtida.

Passo 1

Beleza, vamos lá! Você pediu para encontrar uma representação em série de potências para a derivada da função , ou seja, . Além disso, precisamos determinar o raio de convergência dessa série. Para resolver isso, vamos usar o conceito de séries de potências e aplicar a regra de diferenciação termo a termo. Vamos precisar lembrar como funciona a diferenciação de séries e como calcular o raio de convergência.

Passo 2

Primeiro, suponha que a função possa ser representada por uma série de potências em torno de 0 (série de Taylor) da seguinte forma:
Aqui, são os coeficientes da série.

Passo 3

Para encontrar a derivada , vamos diferenciar cada termo da série individualmente. A derivada de em relação a é:

Passo 4

Aplicando isso a toda a série, temos:

Passo 5

Podemos reescrever o índice da soma para facilitar. Vamos substituir por , onde . Assim, quando , , mas como não existe, começamos a soma a partir de :

Passo 6

Agora, para determinar o raio de convergência da série , usamos o mesmo raio de convergência da série original . Isso acontece porque a diferenciação termo a termo não altera o raio de convergência da série de potências, desde que a série original tenha um raio de convergência positivo.

Resposta

A série de potências para a derivada de é:
O raio de convergência dessa série é o mesmo que o da série original .

Exercícios relacionados

Calcule as derivadas das funções a seguir usando as regras de derivação estudadas.
Calcule, caso exista, cada um dos limites abaixo. Se não existir, justifique. Além disso, procure observar (mesmo que implicitamente) qual é o domínio da função.
.
Calcule as derivadas das funções a seguir usando as regras de derivação estudadas.
, onde é uma constante
Determine uma representação em série de potências para e determine o intervalo de convergência da série obtida.