Determine uma representação em série de pontências para a derivada da função
, ou seja, para
. Determine o raio de convergência da série obtida.
Passo 1
Beleza, vamos lá! Você pediu para encontrar uma representação em série de potências para a derivada da função
, ou seja,
. Além disso, precisamos determinar o raio de convergência dessa série. Para resolver isso, vamos usar o conceito de séries de potências e aplicar a regra de diferenciação termo a termo. Vamos precisar lembrar como funciona a diferenciação de séries e como calcular o raio de convergência.
Passo 2
Primeiro, suponha que a função
possa ser representada por uma série de potências em torno de 0 (série de Taylor) da seguinte forma:
Aqui,
são os coeficientes da série.
Passo 3
Para encontrar a derivada
, vamos diferenciar cada termo da série individualmente. A derivada de
em relação a
é:
Passo 4
Aplicando isso a toda a série, temos:
Passo 5
Podemos reescrever o índice da soma para facilitar. Vamos substituir
por
, onde
. Assim, quando
,
, mas como
não existe, começamos a soma a partir de
:
Passo 6
Agora, para determinar o raio de convergência da série
, usamos o mesmo raio de convergência da série original
. Isso acontece porque a diferenciação termo a termo não altera o raio de convergência da série de potências, desde que a série original tenha um raio de convergência positivo.
Resposta
A série de potências para a derivada de
é:
O raio de convergência dessa série é o mesmo que o da série original
.
Exercícios relacionados
Calcule as derivadas das funções a seguir usando as regras de derivação estudadas.
Calcule, caso exista, cada um dos limites abaixo. Se não existir, justifique. Além disso, procure observar (mesmo que implicitamente) qual é o domínio da função.
.
Calcule as derivadas das funções a seguir usando as regras de derivação estudadas.
, onde
é uma constante
Determine uma representação em série de potências para
e determine o intervalo de convergência da série obtida.