Calcule, caso exista, cada um dos limites abaixo. Se não existir, justifique. Além disso, procure observar (mesmo que implicitamente) qual é o domínio da função.
lim x 2 raizx+2-raiz2 xx^2-2 x.

Passo 1

Vamos dar uma olhada no enunciado: precisamos calcular o limite quando se aproxima de 2 para a função . Para isso, vamos usar conceitos de limites e manipulação algébrica, como racionalização. Também precisamos verificar o domínio da função para garantir que estamos trabalhando com valores válidos de .

Passo 2

Primeiro, identificamos o domínio da função. Nas raízes quadradas, o que está dentro precisa ser maior ou igual a zero:
x + 2 >= 0 Rightarrow x >= -2
2x >= 0 Rightarrow x >= 0
Além disso, o denominador x^2 - 2x = x(x - 2) neq 0 Rightarrow x neq 0 e x neq 2 não pode ser zero:
Então, o domínio da função é e .

Passo 3

Agora, vamos tentar calcular diretamente o limite substituindo raiz2+2-raiz2 times 22^2-2 times 2 = raiz4 - raiz44 - 4 = 2 - 20 = 00 :
Obtemos uma indeterminação do tipo , o que significa que precisamos simplificar a expressão para encontrar o limite.

Passo 4

Vamos racionalizar o numerador. Multiplicamos e dividimos a expressão pelo conjugado do numerador:
raizx+2-raiz2xx^2-2x times raizx+2+raiz2xraizx+2+raiz2x = (x + 2) - (2x)(x^2-2x)(raizx+2+raiz2x)
Simplificando o numerador:
(x + 2) - 2x = -x + 2
Então, temos:
-x + 2(x^2-2x)(raizx+2+raiz2x) = -(x - 2)x(x - 2)(raizx+2+raiz2x)

Passo 5

Agora, podemos cancelar o termo -1x(raizx+2+raiz2x) que está no numerador e no denominador:
-12(raiz2+2+raiz2 times 2) = -12(raiz4 + raiz4) = -12(2 + 2) = -18
Agora, substituímos na expressão simplificada:

Resposta

O limite é .

Exercícios relacionados