Mostre, justificando sua resposta, que a série de Maclaurin da função f(x)=cos ^2(2 x) é dada por
cos ^2(2 x)=1+sumn=1^+infty (-1)^n 4^2 n2(2 n)! x^2 n

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente precisa encontrar a série de Maclaurin para a função . Isso envolve entender um pouquinho de séries de Taylor, especificamente a versão centrada em (que é a Maclaurin), e também usar algumas identidades trigonométricas. Vamos precisar simplificar a função e expandir em série passo a passo.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar cos^2(theta) = 1 + cos(2theta)2 usando uma identidade trigonométrica que facilita trabalhar com potências de cosseno. Sabemos que:
cos^2(2x) = 1 + cos(4x)2
Aplicando isso com , temos:

Passo 3

Agora, precisamos expandir cos(kx) = sumn=0^infty (-1)^n (kx)^2n(2n)! em uma série de Maclaurin. A série de Maclaurin para cos(4x) = sumn=0^infty (-1)^n (4x)^2n(2n)! = sumn=0^infty (-1)^n 4^2n x^2n(2n)! é dada por:
No nosso caso, , então:

Passo 4

Vamos substituir a expansão de cos^2(2x) = 1 + sumn=0^infty (-1)^n 4^2n x^2n(2n)!2 na expressão que encontramos para :

Passo 5

Agora, vamos distribuir o divisor cos^2(2x) = 12 + 12 sumn=0^infty (-1)^n 4^2n x^2n(2n)! dentro da expressão:

Passo 6

Observe que o termo quando (-1)^0 4^0 x^00! = 1 na série é:
cos^2(2x) = 12 + 12 (1 + sumn=1^infty (-1)^n 4^2n x^2n(2n)!)
Então podemos reescrever a expressão separando esse primeiro termo:
cos^2(2x) = 1 + sumn=1^infty (-1)^n 4^2n2 (2n)! x^2n
Simplificando:

Resposta

Portanto, a série de Maclaurin para cos^2(2x) = 1 + sumn=1^+infty (-1)^n 4^2n2 (2n)! x^2n é dada por:

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