Mostre, justificando sua resposta, que a série de Maclaurin da função
é dada por
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente precisa encontrar a série de Maclaurin para a função
. Isso envolve entender um pouquinho de séries de Taylor, especificamente a versão centrada em
(que é a Maclaurin), e também usar algumas identidades trigonométricas. Vamos precisar simplificar a função e expandir em série passo a passo.
Passo 2
Primeiro, vamos simplificar
usando uma identidade trigonométrica que facilita trabalhar com potências de cosseno. Sabemos que:
Aplicando isso com
, temos:
Passo 3
Agora, precisamos expandir
em uma série de Maclaurin. A série de Maclaurin para
é dada por:
No nosso caso,
, então:
Passo 4
Vamos substituir a expansão de
na expressão que encontramos para
:
Passo 5
Agora, vamos distribuir o divisor
dentro da expressão:
Passo 6
Observe que o termo quando
na série é:
Então podemos reescrever a expressão separando esse primeiro termo:
Simplificando:
Resposta
Portanto, a série de Maclaurin para
é dada por:
Exercícios relacionados
Determine se a afirmação é falsa ou verdadeira. Justifique.
Seja , então
.
Seja
Determine uma representação em série de potências para
e determine o intervalo de convergência da série obtida.
Calcule, caso exista, cada um dos limites abaixo. Se não existir, justifique. Além disso, procure observar (mesmo que implicitamente) qual é o domínio da função.
.
Verifique se as sentenças abaixo são verdadeiras ou falsas (V ou F).
A série é divergente;
A série