Mostre, justificando sua resposta, que a série de Maclaurin da função é dada por

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente precisa encontrar a série de Maclaurin para a função . Isso envolve entender um pouquinho de séries de Taylor, especificamente a versão centrada em (que é a Maclaurin), e também usar algumas identidades trigonométricas. Vamos precisar simplificar a função e expandir em série passo a passo.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar usando uma identidade trigonométrica que facilita trabalhar com potências de cosseno. Sabemos que:
Aplicando isso com , temos:

Passo 3

Agora, precisamos expandir em uma série de Maclaurin. A série de Maclaurin para é dada por:
No nosso caso, , então:

Passo 4

Vamos substituir a expansão de na expressão que encontramos para :

Passo 5

Agora, vamos distribuir o divisor dentro da expressão:

Passo 6

Observe que o termo quando na série é:
Então podemos reescrever a expressão separando esse primeiro termo:
Simplificando:

Resposta

Portanto, a série de Maclaurin para é dada por:

Exercícios relacionados

Determine se a afirmação é falsa ou verdadeira. Justifique.
Seja , então .
Determine uma representação em série de potências para e determine o intervalo de convergência da série obtida.
Calcule, caso exista, cada um dos limites abaixo. Se não existir, justifique. Além disso, procure observar (mesmo que implicitamente) qual é o domínio da função.
.
Verifique se as sentenças abaixo são verdadeiras ou falsas (V ou F).
A série é divergente;