Determine se a afirmação é falsa ou verdadeira. Justifique.
Seja
, então
.
Seja
Passo 1
Vamos resumir o que foi pedido. Temos a equação
e queremos descobrir se a derivada
é igual a
. Para resolver isso, vamos usar o conceito de derivação implícita, que nos ajuda a encontrar a derivada quando
está ligado a
de forma indireta na equação.
Passo 2
Primeiro, vamos derivar ambos os lados da equação em relação a
. Isso significa que vamos aplicar a derivada a cada termo da equação considerando que
é uma função de
.
Passo 3
Vamos derivar o termo
em relação a
:
Agora, vamos derivar
em relação a
. Como
depende de
, usamos a regra da cadeia:
Passo 4
Aplicando as derivadas na equação original, temos:
Passo 5
Agora, vamos isolar
:
Dividindo ambos os lados por
:
Resposta
A afirmação é falsa. A derivada
não é igual a
, mas sim a
.
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Determine uma representação em série de potências para
e determine o intervalo de convergência da série obtida.
Calcule as derivadas das funções a seguir usando as regras de derivação estudadas.
, onde
é uma constante
Mostre, justificando sua resposta, que a série de Maclaurin da função
é dada por
Calcule, caso exista, cada um dos limites abaixo. Se não existir, justifique. Além disso, procure observar (mesmo que implicitamente) qual é o domínio da função.
.