Determine se a afirmação é falsa ou verdadeira. Justifique.
Seja , então .

Passo 1

Vamos resumir o que foi pedido. Temos a equação e queremos descobrir se a derivada é igual a . Para resolver isso, vamos usar o conceito de derivação implícita, que nos ajuda a encontrar a derivada quando está ligado a de forma indireta na equação.

Passo 2

Primeiro, vamos derivar ambos os lados da equação em relação a . Isso significa que vamos aplicar a derivada a cada termo da equação considerando que é uma função de .

Passo 3

Vamos derivar o termo em relação a :
Agora, vamos derivar em relação a . Como depende de , usamos a regra da cadeia:

Passo 4

Aplicando as derivadas na equação original, temos:

Passo 5

Agora, vamos isolar :
Dividindo ambos os lados por :

Resposta

A afirmação é falsa. A derivada não é igual a , mas sim a .

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Determine uma representação em série de potências para e determine o intervalo de convergência da série obtida.
Calcule as derivadas das funções a seguir usando as regras de derivação estudadas.
, onde é uma constante
Mostre, justificando sua resposta, que a série de Maclaurin da função é dada por
Calcule, caso exista, cada um dos limites abaixo. Se não existir, justifique. Além disso, procure observar (mesmo que implicitamente) qual é o domínio da função.
.