Verifique se as sentenças abaixo são verdadeiras ou falsas (V ou F).
A série sumn=1^infty 1n-1n+1+15^n-1 é convergente e seu valor é 94;

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para a gente verificar se a afirmação sobre a série é verdadeira ou falsa. A matéria envolvida aqui é séries infinitas, que a gente estuda no cálculo. Para resolver, vamos analisar cada parte da série para ver se ela converge (ou seja, se ela soma a um valor finito) e, se sim, qual é esse valor.

Passo 2

Primeiro, vamos separar a série em duas partes para facilitar: e .

Passo 3

Vamos começar com a primeira parte: . Essa é uma série telescópica, o que significa que muitos termos vão se cancelar quando somarmos.

Passo 4

Vamos ver isso na prática:
( 11 - 12 ) + ( 12 - 13 ) + ( 13 - 14 ) + dots
Os termos e se cancelam, assim como e , e assim por diante. No final, sobra apenas o primeiro termo .

Passo 5

Então, a soma da primeira parte é:
sumn=1^infty ( 1n - 1n+1 ) = 1
Isso mostra que essa parte da série converge e soma 1.

Passo 6

Agora, vamos para a segunda parte: . Essa é uma série geométrica, onde cada termo é obtido multiplicando o termo anterior por .

Passo 7

A soma de uma série geométrica infinita com primeiro termo S = a1 - r e razão (com ) é dada por:
Aqui, o primeiro termo e a razão .

Passo 8

Aplicando a fórmula:
S = 11 - 15 = 145 = 54
Então, a soma dessa parte é , o que também indica que essa série converge.

Passo 9

Agora, juntando as duas partes, temos:
1 + 54 = 94
Portanto, a soma total da série original é .

Resposta

Verdadeiro (V).

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