Verifique se as sentenças abaixo são verdadeiras ou falsas (V ou F).
A série
é convergente e seu valor é
;
A série
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para a gente verificar se a afirmação sobre a série
é verdadeira ou falsa. A matéria envolvida aqui é séries infinitas, que a gente estuda no cálculo. Para resolver, vamos analisar cada parte da série para ver se ela converge (ou seja, se ela soma a um valor finito) e, se sim, qual é esse valor.
Passo 2
Primeiro, vamos separar a série em duas partes para facilitar:
e
.
Passo 3
Vamos começar com a primeira parte:
. Essa é uma série telescópica, o que significa que muitos termos vão se cancelar quando somarmos.
Passo 4
Vamos ver isso na prática:
Os termos
e
se cancelam, assim como
e
, e assim por diante. No final, sobra apenas o primeiro termo
.
Passo 5
Então, a soma da primeira parte é:
Isso mostra que essa parte da série converge e soma 1.
Passo 6
Agora, vamos para a segunda parte:
. Essa é uma série geométrica, onde cada termo é obtido multiplicando o termo anterior por
.
Passo 7
A soma de uma série geométrica infinita com primeiro termo
e razão
(com
) é dada por:
Aqui, o primeiro termo
e a razão
.
Passo 8
Aplicando a fórmula:
Então, a soma dessa parte é
, o que também indica que essa série converge.
Passo 9
Agora, juntando as duas partes, temos:
Portanto, a soma total da série original é
.
Resposta
Verdadeiro (V).
Exercícios relacionados
Verifique se as sentenças abaixo são verdadeiras ou falsas (V ou F).
A série é divergente;
A série
Calcule, caso exista, cada um dos limites abaixo. Se não existir, justifique. Além disso, procure observar (mesmo que implicitamente) qual é o domínio da função.
.
Considere a curva
dada implicitamente pela equação
. Em quais pontos sobre a curva
a reta tangente é horizontal?
Verifique se as sentenças abaixo são verdadeiras ou falsas (V ou F).
A função é solução da edo
.
A função