Verifique se as sentenças abaixo são verdadeiras ou falsas (V ou F).
A série é divergente;

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão pede para verificar se a série é divergente ou não. Isso envolve estudar séries infinitas e utilizar testes de convergência para determinar seu comportamento.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar o termo geral da série: . A fração pode ser escrita como , então temos:

Passo 3

Agora, lembramos de um limite famoso do cálculo:
Isso significa que, para valores grandes de , se aproxima de . Portanto, podemos aproximar nosso termo geral para grandes como:

Passo 4

Observamos que cresce exponencialmente à medida que aumenta. Ou seja, conforme tende ao infinito, também tende ao infinito:

Passo 5

Um critério básico para séries é o Teste da Divergência, que diz que se o limite do termo geral da série não for zero, então a série diverge. No nosso caso, já vimos que o termo geral tende ao infinito, então claramente não tende a zero.

Resposta

Verdadeira. A série é divergente.

Exercícios relacionados

Calcule, caso exista, cada um dos limites abaixo. Se não existir, justifique. Além disso, procure observar (mesmo que implicitamente) qual é o domínio da função.
.
Mostre, justificando sua resposta, que a série de Maclaurin da função é dada por
Verifique se as sentenças abaixo são verdadeiras ou falsas (V ou F).
A série é convergente e seu valor é ;
Considere a curva dada implicitamente pela equação . Em quais pontos sobre a curva a reta tangente é horizontal?