Verifique se as sentenças abaixo são verdadeiras ou falsas (V ou F).
A série
é divergente;
A série
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão pede para verificar se a série
é divergente ou não. Isso envolve estudar séries infinitas e utilizar testes de convergência para determinar seu comportamento.
Passo 2
Primeiro, vamos simplificar o termo geral da série:
. A fração
pode ser escrita como
, então temos:
Passo 3
Agora, lembramos de um limite famoso do cálculo:
Isso significa que, para valores grandes de
,
se aproxima de
. Portanto, podemos aproximar nosso termo geral para grandes
como:
Passo 4
Observamos que
cresce exponencialmente à medida que
aumenta. Ou seja, conforme
tende ao infinito,
também tende ao infinito:
Passo 5
Um critério básico para séries é o Teste da Divergência, que diz que se o limite do termo geral da série não for zero, então a série diverge. No nosso caso, já vimos que o termo geral tende ao infinito, então claramente não tende a zero.
Resposta
Verdadeira. A série é divergente.
Exercícios relacionados
Calcule, caso exista, cada um dos limites abaixo. Se não existir, justifique. Além disso, procure observar (mesmo que implicitamente) qual é o domínio da função.
.
Mostre, justificando sua resposta, que a série de Maclaurin da função
é dada por
Verifique se as sentenças abaixo são verdadeiras ou falsas (V ou F).
A série é convergente e seu valor é
;
A série
Considere a curva
dada implicitamente pela equação
. Em quais pontos sobre a curva
a reta tangente é horizontal?