Verifique se as sentenças abaixo são verdadeiras ou falsas (V ou F).
A série sumn=1^infty e^n(n+1n)^n é divergente;

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão pede para verificar se a série é divergente ou não. Isso envolve estudar séries infinitas e utilizar testes de convergência para determinar seu comportamento.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar o termo geral da série: e^n(1 + 1n)^n . A fração pode ser escrita como , então temos:

Passo 3

Agora, lembramos de um limite famoso do cálculo:
limn to infty (1 + 1n)^n = e
Isso significa que, para valores grandes de e^n cdot e = e^n+1 , se aproxima de . Portanto, podemos aproximar nosso termo geral para grandes como:

Passo 4

Observamos que limn to infty e^n+1 = infty cresce exponencialmente à medida que aumenta. Ou seja, conforme tende ao infinito, também tende ao infinito:

Passo 5

Um critério básico para séries é o Teste da Divergência, que diz que se o limite do termo geral da série não for zero, então a série diverge. No nosso caso, já vimos que o termo geral tende ao infinito, então claramente não tende a zero.

Resposta

Verdadeira. A série é divergente.

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