Calcule, caso exista, cada um dos limites abaixo. Se não existir, justifique. Além disso, procure observar (mesmo que implicitamente) qual é o domínio da função.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse limite juntos! O enunciado pede para calcular:
Esse exercício está dentro da matéria de Cálculo de Limites, e vamos precisar entender como manipular expressões algébricas e aplicar a regra de L’Hôpital se necessário. Também vamos ficar de olho no domínio da função, ou seja, para quais valores de
a expressão está definida.
Passo 2
Primeiro, vamos analisar cada termo dentro do limite separadamente:
Quando
se aproxima de 1,
se aproxima de 0, o que faz com que
tenda ao infinito (positivo ou negativo, dependendo da direção). Já
também se aproxima de 0 quando
tende a 1.
Passo 3
Vamos simplificar a segunda fração
. Sabemos que
pode ser fatorado usando a diferença de cubos:
Então, a fração fica:
Isso porque
.
Passo 4
Agora, vamos juntar as duas frações dentro do limite:
Para somar essas frações, precisamos de um denominador comum. No caso, é
. Então, reescrevemos:
Simplificando o numerador:
Podemos fatorar
no numerador:
Passo 5
Agora, observamos que quando
se aproxima de 1, tanto o numerador quanto o denominador tendem a 0, formando uma indeterminação do tipo
. Nesse caso, podemos aplicar a Regra de L’Hôpital, que nos diz que:
Vamos derivar o numerador e o denominador separadamente.
Passo 6
Derivando o numerador
:
Derivando o denominador
:
Então, a nova expressão do limite é:
Passo 7
Agora, substituímos
na expressão simplificada:
Resposta
O limite vale 1.
Exercícios relacionados
Calcule
para cada função abaixo em seu respectivo domínio
Verifique se as sentenças abaixo são verdadeiras ou falsas (V ou F).
A função é solução da edo
.
A função