Calcule, caso exista, cada um dos limites abaixo. Se não existir, justifique. Além disso, procure observar (mesmo que implicitamente) qual é o domínio da função.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse limite juntos! O enunciado pede para calcular:
Esse exercício está dentro da matéria de Cálculo de Limites, e vamos precisar entender como manipular expressões algébricas e aplicar a regra de L’Hôpital se necessário. Também vamos ficar de olho no domínio da função, ou seja, para quais valores de a expressão está definida.

Passo 2

Primeiro, vamos analisar cada termo dentro do limite separadamente:
Quando se aproxima de 1, se aproxima de 0, o que faz com que tenda ao infinito (positivo ou negativo, dependendo da direção). Já também se aproxima de 0 quando tende a 1.

Passo 3

Vamos simplificar a segunda fração . Sabemos que pode ser fatorado usando a diferença de cubos:
Então, a fração fica:
Isso porque .

Passo 4

Agora, vamos juntar as duas frações dentro do limite:
Para somar essas frações, precisamos de um denominador comum. No caso, é . Então, reescrevemos:
Simplificando o numerador:
Podemos fatorar no numerador:

Passo 5

Agora, observamos que quando se aproxima de 1, tanto o numerador quanto o denominador tendem a 0, formando uma indeterminação do tipo . Nesse caso, podemos aplicar a Regra de L’Hôpital, que nos diz que:
Vamos derivar o numerador e o denominador separadamente.

Passo 6

Derivando o numerador :
Derivando o denominador :
Então, a nova expressão do limite é:

Passo 7

Agora, substituímos na expressão simplificada:

Resposta

O limite vale 1.

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Calcule para cada função abaixo em seu respectivo domínio
Verifique se as sentenças abaixo são verdadeiras ou falsas (V ou F).
A função é solução da edo .