Calcule, caso exista, cada um dos limites abaixo. Se não existir, justifique. Além disso, procure observar (mesmo que implicitamente) qual é o domínio da função.
lim x 1(1x-1+11-x^3)

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse limite juntos! O enunciado pede para calcular:
lim x 1(1x-1+11-x^3)
Esse exercício está dentro da matéria de Cálculo de Limites, e vamos precisar entender como manipular expressões algébricas e aplicar a regra de L’Hôpital se necessário. Também vamos ficar de olho no domínio da função, ou seja, para quais valores de a expressão está definida.

Passo 2

Primeiro, vamos analisar cada termo dentro do limite separadamente:
1x-1 e 11 - x^3
Quando se aproxima de 1, se aproxima de 0, o que faz com que tenda ao infinito (positivo ou negativo, dependendo da direção). Já também se aproxima de 0 quando tende a 1.

Passo 3

Vamos simplificar a segunda fração 1 - x^3 = (1 - x)(1 + x + x^2) . Sabemos que 11 - x^3 = 1(1 - x)(1 + x + x^2) = -1(x - 1)(1 + x + x^2) pode ser fatorado usando a diferença de cubos:
Então, a fração fica:
Isso porque .

Passo 4

Agora, vamos juntar as duas frações dentro do limite:
1x-1 + 11 - x^3 = 1x-1 - 1(x - 1)(1 + x + x^2)
Para somar essas frações, precisamos de um denominador comum. No caso, é = (1 + x + x^2) - 1(x - 1)(1 + x + x^2) . Então, reescrevemos:
= x + x^2(x - 1)(1 + x + x^2)
Simplificando o numerador:
= x(1 + x)(x - 1)(1 + x + x^2)
Podemos fatorar no numerador:

Passo 5

Agora, observamos que quando limx to c f(x)g(x) = limx to c f'(x)g'(x) se limx to c f(x) = limx to c g(x) = 0 se aproxima de 1, tanto o numerador quanto o denominador tendem a 0, formando uma indeterminação do tipo . Nesse caso, podemos aplicar a Regra de L’Hôpital, que nos diz que:
Vamos derivar o numerador e o denominador separadamente.

Passo 6

Derivando o numerador f'(x) = 1 + 2x :
g'(x) = (1)(1 + x + x^2) + (x - 1)(1 + 2x) = 1 + x + x^2 + x + 2x^2 - 1 - 2x = 3x^2
Derivando o denominador limx to 1 1 + 2x3x^2 :
Então, a nova expressão do limite é:

Passo 7

Agora, substituímos 1 + 2(1)3(1)^2 = 1 + 23 = 33 = 1 na expressão simplificada:

Resposta

O limite vale 1.

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