integral sen(3 x) cos (4 x) d x

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente precisa resolver a integral integral sen(3x) cos(4x) , dx. Para isso, vamos usar uma identidade trigonométrica que vai ajudar a simplificar o produto de seno e cosseno. Vamos precisar lembrar dessa fórmula bacana para seguir adiante.

Passo 2

A identidade que vamos usar é:
sen(A) cos(B) = sen(A + B) + sen(A - B)2
Aplicando isso na nossa integral, onde A = 3x e B = 4x, temos:
sen(3x) cos(4x) = sen(7x) + sen(-x)2

Passo 3

Sabemos que sen(-x) = -sen(x). Então, substituindo na expressão:
sen(3x) cos(4x) = sen(7x) - sen(x)2

Passo 4

Agora, a integral original fica mais simples:
integral sen(3x) cos(4x) , dx = integral sen(7x) - sen(x)2 , dx
Podemos separar essa integral em duas partes:
12 integral sen(7x) , dx - 12 integral sen(x) , dx

Passo 5

Vamos integrar cada parte:
  1. integral sen(7x) , dx = -cos(7x)7 + C1
  2. integral sen(x) , dx = -cos(x) + C2
Substituindo de volta:
12 (-cos(7x)7) - 12 (-cos(x))

Passo 6

Simplificando a expressão:
-cos(7x)14 + cos(x)2 + C
Onde C = C12 + C22 é a constante de integração.

Resposta

integral sen(3x) cos(4x) , dx = -cos(7x)14 + cos(x)2 + C

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