integral0^pi cos ^4 x d x

Passo 1

Vamos resolver a integral . Esse exercício está na área de Cálculo Integral, mais especificamente envolvendo integrais de funções trigonométricas com potências pares. Para resolver, vamos precisar usar a fórmula de redução de potência para funções de cosseno.

Passo 2

Primeiro, vamos reescrever cos^2 x = 1 + cos 2x2 utilizando a fórmula de redução de potência. Sabemos que:
cos^4 x = (cos^2 x)^2 = (1 + cos 2x2)^2
Então, elevando ao quadrado:

Passo 3

Agora, vamos expandir o quadrado:
cos^4 x = (1 + cos 2x)^24 = 1 + 2cos 2x + cos^2 2x4

Passo 4

Ainda temos o termo cos^2 2x = 1 + cos 4x2 que podemos simplificar usando a mesma fórmula de redução de potência:
cos^4 x = 1 + 2cos 2x + 1 + cos 4x24 = 3 + 4cos 2x + cos 4x8
Substituindo na expressão anterior:

Passo 5

Agora, nossa integral fica:
integral0^pi cos^4 x , dx = integral0^pi 3 + 4cos 2x + cos 4x8 , dx = 18 integral0^pi 3 , dx + 48 integral0^pi cos 2x , dx + 18 integral0^pi cos 4x , dx

Passo 6

Vamos calcular cada uma das integrais separadamente:
  1. Integral de 3:
integral0^pi 3 , dx = 3x |0^pi = 3pi
  1. Integral de integral0^pi cos 2x , dx = sin 2x2 |0^pi = 0 :
integral0^pi cos 4x , dx = sin 4x4 |0^pi = 0
  1. Integral de :

Passo 7

Substituindo os resultados das integrais de volta na expressão original:
integral0^pi cos^4 x , dx = 18(3pi) + 48(0) + 18(0) = 3pi8

Resposta

O valor da integral é .

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