Verifique se as sentenças abaixo são verdadeiras ou falsas (V ou F).
A função
é solução da edo
.
A função
Passo 1
Beleza, vamos verificar se a função
é solução da equação diferencial ordinária (EDO)
. Aqui estamos lidando com séries de potências e derivadas, então vamos precisar saber como derivar séries termo a termo e comparar os resultados com a EDO dada.
Passo 2
Primeiro, vamos calcular a derivada de
. Sabemos que a derivada de uma série de potências pode ser encontrada derivando cada termo individualmente. Então,
Passo 3
Calculando a derivada de
, temos:
Então,
Passo 4
Simplificando a expressão
, lembrando que
, temos:
Portanto,
Passo 5
Vamos fazer uma mudança de índice para facilitar a comparação com
. Seja
, então quando
,
. Mas para
,
. Ignorando o termo
(que não contribui), temos:
Isso significa que:
Passo 6
Agora, substituindo
e
na EDO
:
Isso confirma que a equação
é satisfeita pela função
.
Resposta
Verdadeiro (V). A função
é solução da EDO
.
Exercícios relacionados
Considere a curva
dada implicitamente pela equação
. Em quais pontos sobre a curva
a reta tangente é horizontal?
Verifique se as sentenças abaixo são verdadeiras ou falsas (V ou F).
A série é convergente e seu valor é
;
A série
Calcule
para cada função abaixo em seu respectivo domínio
Calcule, caso exista, cada um dos limites abaixo. Se não existir, justifique. Além disso, procure observar (mesmo que implicitamente) qual é o domínio da função.