Verifique se as sentenças abaixo são verdadeiras ou falsas (V ou F).
A função y(x)=sumn=0^+infty 3n! x^n é solução da edo y^prime-y=0.

Passo 1

Beleza, vamos verificar se a função é solução da equação diferencial ordinária (EDO) . Aqui estamos lidando com séries de potências e derivadas, então vamos precisar saber como derivar séries termo a termo e comparar os resultados com a EDO dada.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular a derivada de y'(x) = ddx ( sumn=0^+infty 3n! x^n ) = sumn=0^+infty 3n! ddx x^n . Sabemos que a derivada de uma série de potências pode ser encontrada derivando cada termo individualmente. Então,

Passo 3

Calculando a derivada de ddx x^n = n x^n-1 , temos:
y'(x) = sumn=0^+infty 3n! cdot n x^n-1 = sumn=0^+infty 3nn! x^n-1
Então,

Passo 4

Simplificando a expressão 3nn! = 3nn cdot (n-1)! = 3(n-1)! , lembrando que y'(x) = sumn=0^+infty 3(n-1)! x^n-1 , temos:
Portanto,

Passo 5

Vamos fazer uma mudança de índice para facilitar a comparação com y'(x) = summ=0^+infty 3m! x^m . Seja y'(x) = summ=0^+infty 3m! x^m = y(x) , então quando , . Mas para , . Ignorando o termo (que não contribui), temos:
Isso significa que:

Passo 6

Agora, substituindo y'(x) - y(x) = y(x) - y(x) = 0 e na EDO :
Isso confirma que a equação é satisfeita pela função .

Resposta

Verdadeiro (V). A função é solução da EDO .

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