Calcule para cada função abaixo em seu respectivo domínio

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa calcular o limite para a função . Isso está relacionado ao conceito de derivada na matemática, que nos ajuda a entender como a função está mudando em um ponto específico.

Passo 2

Primeiro, vamos substituir a função na expressão do limite. Então temos:
Aqui, estamos tentando ver como a raiz quadrada de se comporta quando fica muito pequeno, aproximando-se de 0.

Passo 3

Para resolver esse limite, vamos racionalizar a expressão. Isso significa que vamos multiplicar o numerador e o denominador pelo conjugado do numerador para eliminar a raiz no numerador. O conjugado de é . Então, fazemos:

Passo 4

Multiplicando os numeradores e denominadores, temos:
Simplificando as potências, ficamos com:
O cancela, sobrando:

Passo 5

Agora, o no numerador e denominador podem ser cancelados:
Com indo para 0, se aproxima de . Portanto, substituímos por 0 na expressão:

Resposta

O limite é igual a .

Exercícios relacionados

Verifique se as sentenças abaixo são verdadeiras ou falsas (V ou F).
A função é solução da edo .
Considere a curva dada implicitamente pela equação . Em quais pontos sobre a curva a reta tangente é horizontal?
Calcule, caso exista, cada um dos limites abaixo. Se não existir, justifique. Além disso, procure observar (mesmo que implicitamente) qual é o domínio da função.