Calcule lim h 0 f(beta+h)-f(beta)h para cada função abaixo em seu respectivo domínio
f(x)=raizx

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa calcular o limite para a função . Isso está relacionado ao conceito de derivada na matemática, que nos ajuda a entender como a função está mudando em um ponto específico.

Passo 2

Primeiro, vamos substituir a função lim h 0 raizbeta + h - raizbetah na expressão do limite. Então temos:
Aqui, estamos tentando ver como a raiz quadrada de se comporta quando fica muito pequeno, aproximando-se de 0.

Passo 3

Para resolver esse limite, vamos racionalizar a expressão. Isso significa que vamos multiplicar o numerador e o denominador pelo conjugado do numerador para eliminar a raiz no numerador. O conjugado de lim h 0 raizbeta + h - raizbetah times raizbeta + h + raizbetaraizbeta + h + raizbeta é . Então, fazemos:

Passo 4

Multiplicando os numeradores e denominadores, temos:
lim h 0 (raizbeta + h)^2 - (raizbeta)^2h(raizbeta + h + raizbeta)
Simplificando as potências, ficamos com:
lim h 0 beta + h - betah(raizbeta + h + raizbeta)
O lim h 0 hh(raizbeta + h + raizbeta) cancela, sobrando:

Passo 5

Agora, o lim h 0 1raizbeta + h + raizbeta no numerador e denominador podem ser cancelados:
1raizbeta + raizbeta = 12raizbeta
Com indo para 0, se aproxima de . Portanto, substituímos por 0 na expressão:

Resposta

O limite é igual a .

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