Calcule
para cada função abaixo em seu respectivo domínio
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa calcular o limite
para a função
. Isso está relacionado ao conceito de derivada na matemática, que nos ajuda a entender como a função está mudando em um ponto específico.
Passo 2
Primeiro, vamos substituir a função
na expressão do limite. Então temos:
Aqui, estamos tentando ver como a raiz quadrada de
se comporta quando
fica muito pequeno, aproximando-se de 0.
Passo 3
Para resolver esse limite, vamos racionalizar a expressão. Isso significa que vamos multiplicar o numerador e o denominador pelo conjugado do numerador para eliminar a raiz no numerador. O conjugado de
é
. Então, fazemos:
Passo 4
Multiplicando os numeradores e denominadores, temos:
Simplificando as potências, ficamos com:
O
cancela, sobrando:
Passo 5
Agora, o
no numerador e denominador podem ser cancelados:
Com
indo para 0,
se aproxima de
. Portanto, substituímos
por 0 na expressão:
Resposta
O limite
é igual a
.
Exercícios relacionados
Verifique se as sentenças abaixo são verdadeiras ou falsas (V ou F).
A função é solução da edo
.
A função
Considere a curva
dada implicitamente pela equação
. Em quais pontos sobre a curva
a reta tangente é horizontal?
Calcule, caso exista, cada um dos limites abaixo. Se não existir, justifique. Além disso, procure observar (mesmo que implicitamente) qual é o domínio da função.