Calcule, caso exista, cada um dos limites abaixo. Se não existir, justifique. Além disso, procure observar (mesmo que implicitamente) qual é o domínio da função.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse limite juntos! A questão pede para calcular o limite quando se aproxima de 1 da expressão . Vamos usar conhecimentos de limites e álgebra para simplificar e encontrar a resposta. Precisaremos entender como manipular frações e fatorar expressões polinomiais.

Passo 2

Primeiro, vamos analisar o que acontece com cada termo da expressão conforme se aproxima de 1. Observamos que tanto quanto tendem a zero quando tende a 1, o que sugere que poderemos ter uma forma indeterminada. Para resolver isso, vamos simplificar a expressão.

Passo 3

Vamos reescrever o denominador . Sabemos que pode ser fatorado usando a diferença de cubos:
Então, a expressão original fica:

Passo 4

Perceba que . Vamos substituir isso na primeira fração:
Agora, nossa expressão fica:

Passo 5

Vamos encontrar um denominador comum para as duas frações, que é . Reescrevendo as frações com esse denominador:
Agora, temos:

Passo 6

Simplificando o numerador:
Então, a expressão fica:

Passo 7

Podemos fatorar o numerador. Observando , podemos fatorar tirando -1:
No entanto, o polinômio não possui fatores reais. Portanto, não conseguimos simplificar mais a fração.

Passo 8

Agora, para calcular o limite, vamos substituir na expressão simplificada:
Isso indica que o limite tende a , já que o denominador se aproxima de zero positivo quando se aproxima de 1 pela direita, e de zero negativo pela esquerda, mas o numerador é negativo.

Resposta

O limite é . Portanto, o limite não existe finitamentе.

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