Calcule, caso exista, cada um dos limites abaixo. Se não existir, justifique. Além disso, procure observar (mesmo que implicitamente) qual é o domínio da função.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse limite juntos! A questão pede para calcular o limite quando
se aproxima de 1 da expressão
. Vamos usar conhecimentos de limites e álgebra para simplificar e encontrar a resposta. Precisaremos entender como manipular frações e fatorar expressões polinomiais.
Passo 2
Primeiro, vamos analisar o que acontece com cada termo da expressão conforme
se aproxima de 1. Observamos que tanto
quanto
tendem a zero quando
tende a 1, o que sugere que poderemos ter uma forma indeterminada. Para resolver isso, vamos simplificar a expressão.
Passo 3
Vamos reescrever o denominador
. Sabemos que
pode ser fatorado usando a diferença de cubos:
Então, a expressão original fica:
Passo 4
Perceba que
. Vamos substituir isso na primeira fração:
Agora, nossa expressão fica:
Passo 5
Vamos encontrar um denominador comum para as duas frações, que é
. Reescrevendo as frações com esse denominador:
Agora, temos:
Passo 6
Simplificando o numerador:
Então, a expressão fica:
Passo 7
Podemos fatorar o numerador. Observando
, podemos fatorar tirando -1:
No entanto, o polinômio
não possui fatores reais. Portanto, não conseguimos simplificar mais a fração.
Passo 8
Agora, para calcular o limite, vamos substituir
na expressão simplificada:
Isso indica que o limite tende a
, já que o denominador se aproxima de zero positivo quando
se aproxima de 1 pela direita, e de zero negativo pela esquerda, mas o numerador é negativo.
Resposta
O limite é
. Portanto, o limite não existe finitamentе.
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