Passo 1
Beleza, vamos resolver a integral definida
. Aqui, estamos lidando com uma função que envolve uma raiz quadrada no denominador. Para resolver isso, vamos usar o método de substituição, que ajuda a simplificar integrais complicadas transformando-as em formas mais fáceis de integrar.
Passo 2
Primeiro, vamos fazer uma substituição para simplificar a expressão
. Vamos definir:
Isso significa que:
Com essa substituição, conseguimos reescrever
em termos de
:
Passo 3
Agora, precisamos ajustar os limites de integração de acordo com nossa nova variável
. Originalmente, os limites eram de
a
. Vamos calcular os novos limites para
:
Então, os novos limites de integração são de
a
.
Passo 4
Substituindo tudo na integral original, temos:
Agora, vamos separar a fração:
Simplificando:
Passo 5
Vamos integrar cada parte separadamente usando a regra da potência para integrais:
Aplicando para cada termo:
Passo 6
Agora, substituímos os limites de integração:
Subtraindo:
Resposta
A integral
é igual a
.
Exercícios relacionados
Calcule, caso exista, cada um dos limites abaixo. Se não existir, justifique. Além disso, procure observar (mesmo que implicitamente) qual é o domínio da função.
Calcule, caso exista, cada um dos limites abaixo. Se não existir, justifique. Além disso, procure observar (mesmo que implicitamente) qual é o domínio da função.
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Use a definição de Transformada de Laplace para as seguintes funções: