Passo 1

Beleza, vamos resolver a integral definida . Aqui, estamos lidando com uma função que envolve uma raiz quadrada no denominador. Para resolver isso, vamos usar o método de substituição, que ajuda a simplificar integrais complicadas transformando-as em formas mais fáceis de integrar.

Passo 2

Primeiro, vamos fazer uma substituição para simplificar a expressão . Vamos definir:
Isso significa que:
Com essa substituição, conseguimos reescrever em termos de :

Passo 3

Agora, precisamos ajustar os limites de integração de acordo com nossa nova variável . Originalmente, os limites eram de a . Vamos calcular os novos limites para :
Então, os novos limites de integração são de a .

Passo 4

Substituindo tudo na integral original, temos:
Agora, vamos separar a fração:
Simplificando:

Passo 5

Vamos integrar cada parte separadamente usando a regra da potência para integrais:
Aplicando para cada termo:

Passo 6

Agora, substituímos os limites de integração:
Subtraindo:

Resposta

A integral é igual a .

Exercícios relacionados

Calcule, caso exista, cada um dos limites abaixo. Se não existir, justifique. Além disso, procure observar (mesmo que implicitamente) qual é o domínio da função.
Calcule, caso exista, cada um dos limites abaixo. Se não existir, justifique. Além disso, procure observar (mesmo que implicitamente) qual é o domínio da função.
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Use a definição de Transformada de Laplace para as seguintes funções: