integral-1^3 xraizx+1 d x

Passo 1

Beleza, vamos resolver a integral definida . Aqui, estamos lidando com uma função que envolve uma raiz quadrada no denominador. Para resolver isso, vamos usar o método de substituição, que ajuda a simplificar integrais complicadas transformando-as em formas mais fáceis de integrar.

Passo 2

Primeiro, vamos fazer uma substituição para simplificar a expressão u = x + 1 . Vamos definir:
du = dx
Isso significa que:
x = u - 1
Com essa substituição, conseguimos reescrever em termos de :

Passo 3

Agora, precisamos ajustar os limites de integração de acordo com nossa nova variável Quando x = -1, u = -1 + 1 = 0 . Originalmente, os limites eram de Quando x = 3, u = 3 + 1 = 4 a . Vamos calcular os novos limites para :
Então, os novos limites de integração são de a .

Passo 4

Substituindo tudo na integral original, temos:
integral-1^3 xraizx+1 , dx = integral0^4 u - 1raizu , du
Agora, vamos separar a fração:
integral0^4 uraizu , du - integral0^4 1raizu , du
Simplificando:
integral0^4 u^1/2 , du - integral0^4 u^-1/2 , du

Passo 5

Vamos integrar cada parte separadamente usando a regra da potência para integrais:
integral u^n , du = u^n+1n+1 + C
Aplicando para cada termo:
integral0^4 u^1/2 , du = [ u^3/232 ]0^4 = [ 23 u^3/2 ]0^4
integral0^4 u^-1/2 , du = [ u^1/212 ]0^4 = [ 2 u^1/2 ]0^4

Passo 6

Agora, substituímos os limites de integração:
[ 23 u^3/2 ]0^4 = 23 (4^3/2 - 0^3/2) = 23 (8 - 0) = 163
[ 2 u^1/2 ]0^4 = 2 (4^1/2 - 0^1/2) = 2 (2 - 0) = 4
Subtraindo:
163 - 4 = 163 - 123 = 43

Resposta

A integral é igual a .

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