Calcule, caso exista, cada um dos limites abaixo. Se não existir, justifique. Além disso, procure observar (mesmo que implicitamente) qual é o domínio da função.
lim y 0 raiz1+2 y-raiz1+3 y2 y^2+y.

Passo 1

Então, a gente tem um limite que envolve raízes quadradas e uma fração meio complicada. Para resolver isso, vamos precisar entender como simplificar expressões com radiciação e aplicar as regras de limites. Vamos lá!

Passo 2

Primeiro, vamos olhar a expressão que queremos calcular:
lim y 0 raiz1+2 y-raiz1+3 y2 y^2+y
A ideia aqui é simplificar essa fração para conseguir encontrar o limite quando se aproxima de 0.

Passo 3

Uma boa estratégia para simplificar expressões com raízes quadradas é multiplicar o numerador e o denominador pela conjugada do numerador. A conjugada de raiz1+2 y-raiz1+3 y2 y^2+y times raiz1+2y + raiz1+3yraiz1+2y + raiz1+3y é . Vamos fazer isso:

Passo 4

No numerador, usamos a diferença de quadrados:
(raiz1+2y)^2 - (raiz1+3y)^2 = (1+2y) - (1+3y) = -y
Então, o numerador simplifica para .

Passo 5

Agora, vejamos o denominador:
(2y^2+y)(raiz1+2y + raiz1+3y)
Podemos fatorar y(2y + 1)(raiz1+2y + raiz1+3y) na expressão :

Passo 6

Substituindo de volta na fração, temos:
-yy(2y +1)(raiz1+2y + raiz1+3y)
Aqui, podemos cancelar o -1(2y +1)(raiz1+2y + raiz1+3y) no numerador e denominador:

Passo 7

Agora, vamos calcular o limite substituindo 2(0) +1 = 1 :
raiz1 + 2 cdot 0 + raiz1 + 3 cdot 0 = 1 +1 = 2
-11 times 2 = -12
Substituindo esses valores na expressão simplificada:

Resposta

O limite é .

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