Beleza, vamos lá! A gente tem que calcular uma integração tripla sobre a região , que é definida por duas condições: e . O conteúdo aqui envolve cálculo multivariado, mais especificamente integrais triplas em coordenadas esféricas. Vamos precisar transformar a integral para coordenadas esféricas pra facilitar o cálculo.
Passo 2
Primeiro, vamos entender melhor a região . A condição descreve uma esfera de raio 1 centrada na origem. A outra condição, , define um cone. Então, é a parte da esfera que está acima desse cone. Para facilitar, vamos mudar para coordenadas esféricas, onde , e .
Passo 3
Agora, vamos determinar os limites de integração em coordenadas esféricas. A condição da esfera se traduz para . A condição do cone fica assim:
Isso significa que . E varia de a porque dá uma volta completa no plano .
Passo 4
Vamos reescrever a função que está sendo integrada na integral tripla. Em coordenadas esféricas, . Então, a função vira .
Além disso, o elemento de volume em coordenadas esféricas é .
Passo 5
Agora, montamos a integral tripla com os limites e a função transformada:
Simplificando a função dentro da integral:
Então, a integral fica:
Passo 6
Vamos resolver a integral por partes, começando pela integração em :