Calcule onde . Escolha uma opção:

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem que calcular uma integração tripla sobre a região , que é definida por duas condições: e . O conteúdo aqui envolve cálculo multivariado, mais especificamente integrais triplas em coordenadas esféricas. Vamos precisar transformar a integral para coordenadas esféricas pra facilitar o cálculo.

Passo 2

Primeiro, vamos entender melhor a região . A condição descreve uma esfera de raio 1 centrada na origem. A outra condição, , define um cone. Então, é a parte da esfera que está acima desse cone. Para facilitar, vamos mudar para coordenadas esféricas, onde , e .

Passo 3

Agora, vamos determinar os limites de integração em coordenadas esféricas. A condição da esfera se traduz para . A condição do cone fica assim:
Isso significa que . E varia de a porque dá uma volta completa no plano .

Passo 4

Vamos reescrever a função que está sendo integrada na integral tripla. Em coordenadas esféricas, . Então, a função vira .
Além disso, o elemento de volume em coordenadas esféricas é .

Passo 5

Agora, montamos a integral tripla com os limites e a função transformada:
Simplificando a função dentro da integral:
Então, a integral fica:

Passo 6

Vamos resolver a integral por partes, começando pela integração em :
Agora, integramos em :
Por fim, a integral em :
Multiplicando tudo:

Resposta

O valor da integral tripla é .

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Use a definição de Transformada de Laplace para as seguintes funções:
Calcule, caso exista, cada um dos limites abaixo. Se não existir, justifique. Além disso, procure observar (mesmo que implicitamente) qual é o domínio da função.
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