Calcule integral triplaE 1(x^2+y^2+z^2)^23 d V onde E=(x, y, z) in R^3: z >= raizx^2+y^23, x^2+y^2+z^2 <= 1. Escolha uma opção:

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem que calcular uma integração tripla sobre a região , que é definida por duas condições: e . O conteúdo aqui envolve cálculo multivariado, mais especificamente integrais triplas em coordenadas esféricas. Vamos precisar transformar a integral para coordenadas esféricas pra facilitar o cálculo.

Passo 2

Primeiro, vamos entender melhor a região . A condição descreve uma esfera de raio 1 centrada na origem. A outra condição, , define um cone. Então, é a parte da esfera que está acima desse cone. Para facilitar, vamos mudar para coordenadas esféricas, onde , e .

Passo 3

Agora, vamos determinar os limites de integração em coordenadas esféricas. A condição da esfera r costheta >= raizr^2 sin^2theta3 Rightarrow costheta >= sinthetaraiz3 Rightarrow tantheta <= raiz3 se traduz para . A condição do cone fica assim:
Isso significa que . E varia de a porque dá uma volta completa no plano .

Passo 4

Vamos reescrever a função que está sendo integrada na integral tripla. Em coordenadas esféricas, . Então, a função vira .
Além disso, o elemento de volume em coordenadas esféricas é .

Passo 5

Agora, montamos a integral tripla com os limites e a função transformada:
integral triplaE 1(x^2+y^2+z^2)^23 , dV = integral0^1 integral0^2pi integral0^pi3 1r^43 cdot r^2 sintheta , dtheta , dphi , dr
Simplificando a função dentro da integral:
1r^43 cdot r^2 = r^2 - 43 = r^23
Então, a integral fica:
integral0^1 integral0^2pi integral0^pi3 r^23 sintheta , dtheta , dphi , dr

Passo 6

Vamos resolver a integral por partes, começando pela integração em integral0^pi3 sintheta , dtheta = -costheta |0^pi3 = -(cospi3 - cos0) = -( 12 - 1 ) = 12 :
integral0^2pi dphi = 2pi
Agora, integramos em integral0^1 r^23 , dr = r^5353 |0^1 = 35 (1^53 - 0) = 35 :
35 times 12 times 2pi = 35 times pi = 3pi5
Por fim, a integral em :
Multiplicando tudo:

Resposta

O valor da integral tripla é .

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