Calcule, caso exista, cada um dos limites abaixo. Se não existir, justifique. (h)
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem que calcular o limite
. Esse tipo de limite está ligado ao conceito de derivada na matemática, que estuda como uma função muda quando a gente faz pequenas variações. Para resolver isso, vamos precisar saber como expandir potências e simplificar expressões algébricas.
Passo 2
Primeiro, vamos expandir
. Para isso, usamos a fórmula do binômio de Newton:
Isso ajuda a simplificar a expressão no numerador.
Passo 3
Agora, vamos substituir a expansão na expressão original:
Perceba que o
e o
se cancelam.
Passo 4
Depois de cancelar, a gente fica com:
Agora, podemos dividir cada termo no numerador por
:
Isso simplifica bastante a expressão.
Passo 5
Por fim, vamos calcular o limite quando
tende a 0:
Os termos que contêm
vão para zero quando
se aproxima de 0.
Resposta
O limite é
.
Exercícios relacionados
Calcule, caso exista, cada um dos limites abaixo. Se não existir, justifique. §
onde
é a função do item (n).
Se
, calcule:
Calcule, caso exista, cada um dos limites abaixo. Se não existir, justifique. (o)
onde
é a função do item (n).
Demonstre o Corolário do Teorema do Confronto dado em sala de aula: Suponha que
0 e que existam
e
satisfazendo
para
. Então
. [Sugestão: Use o Teorema do Confronto e o Exercício 3.]