Calcule, caso exista, cada um dos limites abaixo. Se não existir, justifique. (h) lim h 0 (x+h)^3-x^3h.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem que calcular o limite . Esse tipo de limite está ligado ao conceito de derivada na matemática, que estuda como uma função muda quando a gente faz pequenas variações. Para resolver isso, vamos precisar saber como expandir potências e simplificar expressões algébricas.

Passo 2

Primeiro, vamos expandir (x + h)^3 = x^3 + 3x^2h + 3xh^2 + h^3 . Para isso, usamos a fórmula do binômio de Newton:
Isso ajuda a simplificar a expressão no numerador.

Passo 3

Agora, vamos substituir a expansão na expressão original:
(x + h)^3 - x^3h = x^3 + 3x^2h + 3xh^2 + h^3 - x^3h
Perceba que o e o se cancelam.

Passo 4

Depois de cancelar, a gente fica com:
3x^2h + 3xh^2 + h^3h
Agora, podemos dividir cada termo no numerador por 3x^2hh + 3xh^2h + h^3h = 3x^2 + 3xh + h^2 :
Isso simplifica bastante a expressão.

Passo 5

Por fim, vamos calcular o limite quando lim h 0 (3x^2 + 3xh + h^2) = 3x^2 + 0 + 0 = 3x^2 tende a 0:
Os termos que contêm vão para zero quando se aproxima de 0.

Resposta

O limite é .

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