Demonstre o Corolário do Teorema do Confronto dado em sala de aula: Suponha que 0 e que existam e satisfazendo para . Então . [Sugestão: Use o Teorema do Confronto e o Exercício 3.]

Passo 1

Vamos resumir o que a questão está pedindo e identificar o que precisamos para resolver. Queremos demonstrar que se e existe um número positivo e um raio tal que para todo dentro de , então . Para isso, vamos usar o Teorema do Confronto, que nos ajuda a determinar limites quando uma função está “presas” entre duas outras funções com limites conhecidos.

Passo 2

Primeiro, sabemos que . Isso significa que, conforme se aproxima de , o valor de fica cada vez mais próximo de 0.

Passo 3

Também sabemos que a função está limitada pelo valor dentro de uma certa vizinhança de . Ou seja, para todo com , temos que . Isso significa que, independentemente de como se aproxima de , o valor absoluto de nunca excede .

Passo 4

Agora, vamos considerar o produto . Queremos encontrar um limite para quando se aproxima de . Primeiro, vamos analisar o valor absoluto desse produto:

Passo 5

Sabemos que , então podemos substituir na inequação:
Isso simplifica para:

Passo 6

Como , multiplicando ambos os lados por , que é constante, temos:

Passo 7

Pelo Teorema do Confronto, se e , então também:
O que implica que:

Resposta

Exercícios relacionados

Calcule, caso exista, cada um dos limites abaixo. Se não existir, justifique. (o) onde é a função do item (n).
Calcule, caso exista, cada um dos limites abaixo. Se não existir, justifique. (h) .
Demonstre o Teorema da Comparação dado em sala de aula: Sejam e funções tais que para , para algum . Se e existem, então