Demonstre o Corolário do Teorema do Confronto dado em sala de aula: Suponha que
0 e que existam
e
satisfazendo
para
. Então
. [Sugestão: Use o Teorema do Confronto e o Exercício 3.]
Passo 1
Vamos resumir o que a questão está pedindo e identificar o que precisamos para resolver. Queremos demonstrar que se
e existe um número positivo
e um raio
tal que
para todo
dentro de
, então
. Para isso, vamos usar o Teorema do Confronto, que nos ajuda a determinar limites quando uma função está “presas” entre duas outras funções com limites conhecidos.
Passo 2
Primeiro, sabemos que
. Isso significa que, conforme
se aproxima de
, o valor de
fica cada vez mais próximo de 0.
Passo 3
Também sabemos que a função
está limitada pelo valor
dentro de uma certa vizinhança de
. Ou seja, para todo
com
, temos que
. Isso significa que, independentemente de como
se aproxima de
, o valor absoluto de
nunca excede
.
Passo 4
Agora, vamos considerar o produto
. Queremos encontrar um limite para
quando
se aproxima de
. Primeiro, vamos analisar o valor absoluto desse produto:
Passo 5
Sabemos que
, então podemos substituir na inequação:
Isso simplifica para:
Passo 6
Como
, multiplicando ambos os lados por
, que é constante, temos:
Passo 7
Pelo Teorema do Confronto, se
e
, então também:
O que implica que:
Resposta
Exercícios relacionados
Calcule, caso exista, cada um dos limites abaixo. Se não existir, justifique. (o)
onde
é a função do item (n).
Calcule, caso exista, cada um dos limites abaixo. Se não existir, justifique. (h)
.
Demonstre o Teorema da Comparação dado em sala de aula: Sejam
e
funções tais que
para
, para algum
. Se
e
existem, então