Demonstre o Corolário do Teorema do Confronto dado em sala de aula: Suponha que lim x x0 f(x)= 0 e que existam M>0 e r>0 satisfazendo |g(x)| <= M para 0<|x-x0|. Então lim x x0 f(x) g(x)=0. [Sugestão: Use o Teorema do Confronto e o Exercício 3.]

Passo 1

Vamos resumir o que a questão está pedindo e identificar o que precisamos para resolver. Queremos demonstrar que se lim x x0 f(x) = 0 e existe um número positivo M e um raio r tal que |g(x)| <= M para todo x dentro de 0 < |x - x0| < r, então lim x x0 f(x) g(x) = 0. Para isso, vamos usar o Teorema do Confronto, que nos ajuda a determinar limites quando uma função está “presas” entre duas outras funções com limites conhecidos.

Passo 2

Primeiro, sabemos que lim x x0 f(x) = 0. Isso significa que, conforme x se aproxima de x0, o valor de f(x) fica cada vez mais próximo de 0.

Passo 3

Também sabemos que a função g(x) está limitada pelo valor M dentro de uma certa vizinhança de x0. Ou seja, para todo x com 0 < |x - x0| < r, temos que |g(x)| <= M. Isso significa que, independentemente de como x se aproxima de x0, o valor absoluto de g(x) nunca excede M.

Passo 4

Agora, vamos considerar o produto f(x)g(x). Queremos encontrar um limite para f(x)g(x) quando x se aproxima de x0. Primeiro, vamos analisar o valor absoluto desse produto:
|f(x)g(x)| = |f(x)| cdot |g(x)|

Passo 5

Sabemos que |g(x)| <= M, então podemos substituir na inequação:
|f(x)g(x)| <= |f(x)| cdot M
Isso simplifica para:
|f(x)g(x)| <= M cdot |f(x)|

Passo 6

Como lim x x0 f(x) = 0, multiplicando ambos os lados por M, que é constante, temos:
lim x x0 M cdot |f(x)| = M cdot 0 = 0

Passo 7

Pelo Teorema do Confronto, se |f(x)g(x)| <= M cdot |f(x)| e lim x x0 M cdot |f(x)| = 0, então também:
lim x x0 |f(x)g(x)| = 0
O que implica que:
lim x x0 f(x)g(x) = 0

Resposta

lim x x0 f(x) g(x) = 0

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