Calcule, caso exista, cada um dos limites abaixo. Se não existir, justifique. lim x 1^+ f(x)-f(1)x-1 onde f(x)=lx+1, se x >= 1 2 x, se x<1.

Passo 1

Vamos resolver o limite lim x 1^+ f(x)-f(1)x-1. Esse é um problema de cálculo que envolve limites e funções definidas por partes. Precisamos analisar como a função f(x) se comporta perto de x = 1 e calcular o limite usando essa informação.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar o valor de f(1). Observando a definição da função:
f(x) = x + 1, & se x >= 1 2x, & se x < 1
Como estamos considerando x 1^+ (ou seja, valores de x um pouco maiores que 1), usamos a parte da função para x >= 1. Então:
f(1) = 1 + 1 = 2

Passo 3

Agora, substituímos f(x) e f(1) na expressão do limite:
lim x 1^+ f(x)-f(1)x-1 = lim x 1^+ (x + 1) - 2x - 1

Passo 4

Simplificamos o numerador:
(x + 1) - 2 = x - 1
Então, a expressão do limite fica:
lim x 1^+ x - 1x - 1

Passo 5

Perceba que, para x neq 1, x - 1x - 1 = 1. Portanto:
lim x 1^+ 1 = 1

Resposta

O limite existe e é igual a 1.

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