Demonstre, utilizando a definição de limite, que:
, sendo
constantes,
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse limite usando a definição de limite. A questão quer mostrar que quando
se aproxima de
, a expressão
se aproxima de
. Para isso, vamos precisar entender a definição formal de limite e aplicar ela nessa expressão linear.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar a definição de limite. Dizemos que:
significa que para todo número pequeno
, existe um número
tal que, se
, então
.
No nosso caso,
e
. Vamos mostrar que essa definição é satisfeita para esses valores.
Passo 3
Vamos começar calculando a diferença
:
Aqui, usamos a propriedade da propriedade distributiva para simplificar a expressão.
Passo 4
Agora queremos que
. Para isso, podemos isolar
:
Isso nos dá uma escolha para
. Podemos definir:
Passo 5
Com essa escolha de
, garantimos que sempre que
, teremos:
Isso satisfaz a definição de limite, mostrando que
.
Resposta
Portanto, demonstramos que
.