Demonstre, utilizando a definição de limite, que: lim x x0 a x+b=a x0+b, sendo a, b in R constantes, a neq 0.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse limite usando a definição de limite. A questão quer mostrar que quando se aproxima de , a expressão se aproxima de . Para isso, vamos precisar entender a definição formal de limite e aplicar ela nessa expressão linear.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar a definição de limite. Dizemos que:
limx to x0 f(x) = L
significa que para todo número pequeno , existe um número tal que, se , então .
No nosso caso, e . Vamos mostrar que essa definição é satisfeita para esses valores.

Passo 3

Vamos começar calculando a diferença |a x + b - (a x0 + b)| = |a x - a x0| = |a||x - x0| :
Aqui, usamos a propriedade da propriedade distributiva para simplificar a expressão.

Passo 4

Agora queremos que |x - x0| < epsilon|a| . Para isso, podemos isolar de:
Isso nos dá uma escolha para . Podemos definir:

Passo 5

Com essa escolha de |a x + b - (a x0 + b)| = |a||x - x0| < |a| cdot epsilon|a| = epsilon , garantimos que sempre que , teremos:
Isso satisfaz a definição de limite, mostrando que .

Resposta

Portanto, demonstramos que .

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