Verifique se as afirmações abaixo são verdadeiras, justificando as respostas, isto é, exibindo uma prova nos casos verdadeiros e dando um contraexemplo nos casos falsos. (Atenção: você pode assumir verdadeiras as propriedades de limites vistas em sala de aula.) Se existem os limites
e
, então existe
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem uma afirmação sobre limites: se os limites de
e de
quando
se aproxima de
existem, então o limite de
também existe. Vamos usar o conteúdo de propriedades de limites que vimos na aula para verificar se isso é verdade.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar de uma propriedade básica dos limites: se os limites de duas funções existem, então o limite da soma dessas funções também existe e é igual à soma dos limites individuais. Matematicamente, isso é:
Passo 3
Agora, a gente sabe que
existe e também que
existe. Vamos chamar:
Segundo a propriedade que mencionamos, temos:
Passo 4
Agora, queremos encontrar
. Podemos rearranjar a equação acima para isolá-lo:
Passo 5
Como
e
existem (dado que os limites de
e
existem), a diferença entre eles também existe. Portanto,
existe.
Resposta
A afirmação é verdadeira. Se os limites de
e de
existem quando
se aproxima de
, então o limite de
também existe.