Verifique se as afirmações abaixo são verdadeiras, justificando as respostas, isto é, exibindo uma prova nos casos verdadeiros e dando um contraexemplo nos casos falsos. (Atenção: você pode assumir verdadeiras as propriedades de limites vistas em sala de aula.) Se existem os limites lim x x0 f(x) e lim x x0(f(x)+g(x)), então existe lim x x0 g(x).

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem uma afirmação sobre limites: se os limites de e de quando se aproxima de existem, então o limite de também existe. Vamos usar o conteúdo de propriedades de limites que vimos na aula para verificar se isso é verdade.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar de uma propriedade básica dos limites: se os limites de duas funções existem, então o limite da soma dessas funções também existe e é igual à soma dos limites individuais. Matematicamente, isso é:
limx to x0 [f(x) + g(x)] = limx to x0 f(x) + limx to x0 g(x)

Passo 3

Agora, a gente sabe que L = limx to x0 f(x) existe e também que M = limx to x0 [f(x) + g(x)] existe. Vamos chamar:
M = L + limx to x0 g(x)
Segundo a propriedade que mencionamos, temos:

Passo 4

Agora, queremos encontrar limx to x0 g(x) = M - L . Podemos rearranjar a equação acima para isolá-lo:

Passo 5

Como e existem (dado que os limites de e existem), a diferença entre eles também existe. Portanto, existe.

Resposta

A afirmação é verdadeira. Se os limites de e de existem quando se aproxima de , então o limite de também existe.

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