Calcule, caso exista, cada um dos limites abaixo. Se não existir, justifique.
onde
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse limite que envolve funções definidas por partes. O enunciado pede para calcular o limite de
quando
se aproxima de 2 pela esquerda (
). A matéria aqui é cálculo de limites, especificamente lidando com funções definidas por partes. Para resolver, vamos precisar entender como a função
se comporta perto de
.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar o valor de
. Olhando a definição de
:
Como
está na parte onde
, temos:
Passo 3
Agora, vamos analisar o comportamento de
quando
se aproxima de 2 pela esquerda (
). Nesse caso, usamos a segunda parte da função:
Então, substituindo na expressão do limite:
Passo 4
Vamos simplificar a expressão dentro do limite. Primeiro, subtraímos:
Então, a expressão do limite fica:
Passo 5
Agora, vamos fatorar o numerador
, que é uma diferença de quadrados:
Substituindo na expressão:
Aqui, podemos cancelar o
no numerador e denominador porque
na aproximação.
Passo 6
Agora, basta calcular o limite da expressão simplificada:
Resposta
O limite existe e é igual a
.