Calcule, caso exista, cada um dos limites abaixo. Se não existir, justifique. lim x 2^- g(x)-g(2)x-2 onde g(x)=lx, se x >= 2 x^22, se x<2.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse limite que envolve funções definidas por partes. O enunciado pede para calcular o limite de quando se aproxima de 2 pela esquerda ( ). A matéria aqui é cálculo de limites, especificamente lidando com funções definidas por partes. Para resolver, vamos precisar entender como a função se comporta perto de .

Passo 2

Primeiro, vamos identificar o valor de g(x) = x, & se x >= 2 x^22, & se x < 2 . Olhando a definição de g(2) = 2 :
Como está na parte onde , temos:

Passo 3

Agora, vamos analisar o comportamento de g(x) = x^22 quando limx to 2^- g(x) - g(2)x - 2 = limx to 2^- x^22 - 2x - 2 se aproxima de 2 pela esquerda ( ). Nesse caso, usamos a segunda parte da função:
Então, substituindo na expressão do limite:

Passo 4

Vamos simplificar a expressão dentro do limite. Primeiro, subtraímos:
x^22 - 2 = x^2 - 42
Então, a expressão do limite fica:
limx to 2^- x^2 - 42x - 2 = limx to 2^- x^2 - 42(x - 2)

Passo 5

Agora, vamos fatorar o numerador x^2 - 4 = (x - 2)(x + 2) , que é uma diferença de quadrados:
limx to 2^- (x - 2)(x + 2)2(x - 2) = limx to 2^- x + 22
Substituindo na expressão:
Aqui, podemos cancelar o no numerador e denominador porque na aproximação.

Passo 6

Agora, basta calcular o limite da expressão simplificada:
limx to 2^- x + 22 = 2 + 22 = 42 = 2

Resposta

O limite existe e é igual a .

Exercícios relacionados