Verifique se as afirmações abaixo são verdadeiras, justificando as respostas, isto é, exibindo uma prova nos casos verdadeiros e dando um contraexemplo nos casos falsos. (Atenção: você pode assumir verdadeiras as propriedades de limites vistas em sala de aula.) Se existem lim x x0 f(x) e lim x x0 g(x), então existe lim x x0 f(x)g(x).

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede pra gente verificar se a afirmação "Se existem lim x x0 f(x) e lim x x0 g(x), então existe lim x x0 f(x)g(x)" é verdadeira ou falsa. Estamos lidando com limites, então vamos lembrar das regrinhas básicas de limites que aprendemos.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que a afirmação está dizendo. Se os limites de duas funções f(x) e g(x) existem quando x se aproxima de x0, será que o limite do quociente f(x)g(x) também existe?

Passo 3

Para responder isso, precisamos lembrar das regras de limites. Sabemos que se limx x0 f(x) = L e limx x0 g(x) = M, então:
  • limx x0 ( f(x) + g(x) ) = L + M
  • limx x0 ( f(x) cdot g(x) ) = L cdot M
  • E, crucialmente, para o quociente: Se M neq 0, então limx x0 f(x)g(x) = LM
Isso significa que a afirmação original só é garantida se o limite de g(x), ou seja, M, não for zero.

Passo 4

Agora, vamos verificar se a afirmação “Se existem os limites de f(x) e g(x), então o limite do quociente também existe” é sempre verdadeira.
Imagina que limx x0 f(x) = 2 e limx x0 g(x) = 0. Segundo as regras, não podemos dividir por zero, então o limite de f(x)g(x) não existe nesse caso.

Passo 5

Esse é um exemplo claro de que mesmo que os limites de f(x) e g(x) existam, o limite do quociente f(x)g(x) pode não existir se o limite de g(x) for zero.

Resposta

A afirmação é falsa. Por exemplo, se limx x0 f(x) = 2 e limx x0 g(x) = 0, então limx x0 f(x)g(x) não existe.

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