Verifique se as afirmações abaixo são verdadeiras, justificando as respostas, isto é, exibindo uma prova nos casos verdadeiros e dando um contraexemplo nos casos falsos. (Atenção: você pode assumir verdadeiras as propriedades de limites vistas em sala de aula.) Se existem
e
, então existe
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede pra gente verificar se a afirmação "Se existem
e
, então existe
" é verdadeira ou falsa. Estamos lidando com limites, então vamos lembrar das regrinhas básicas de limites que aprendemos.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que a afirmação está dizendo. Se os limites de duas funções
e
existem quando
se aproxima de
, será que o limite do quociente
também existe?
Passo 3
Para responder isso, precisamos lembrar das regras de limites. Sabemos que se
e
, então:
-
-
- E, crucialmente, para o quociente: Se
, então
Isso significa que a afirmação original só é garantida se o limite de
, ou seja,
, não for zero.
Passo 4
Agora, vamos verificar se a afirmação “Se existem os limites de
e
, então o limite do quociente também existe” é sempre verdadeira.
Imagina que
e
. Segundo as regras, não podemos dividir por zero, então o limite de
não existe nesse caso.
Passo 5
Esse é um exemplo claro de que mesmo que os limites de
e
existam, o limite do quociente
pode não existir se o limite de
for zero.
Resposta
A afirmação é falsa. Por exemplo, se
e
, então
não existe.