Calcule, caso exista; ou caso contrário, justifique a não existência.
lim 2 e^x^2 y-2x^2 y

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem que calcular o limite da função 2 e^x^2 y - 2x^2 y. Esse exercício está relacionado ao cálculo de limites em funções de múltiplas variáveis, especificamente usando a expansão em séries de Taylor ou propriedades dos limites. Para resolver isso, vamos precisar entender um pouco sobre limites, exponenciais e como eles se comportam quando suas variáveis tendem a certos valores.

Passo 2

Primeiro, vamos analisar a expressão do limite: 2 e^x^2 y - 2x^2 y. Nosso objetivo é simplificar essa expressão para encontrar o valor do limite. Observamos que tanto o numerador quanto o denominador tendem a zero quando (x, y) tende a (0, 0), formando uma indeterminação do tipo 00. Para resolver isso, podemos usar a expansão da função exponencial.

Passo 3

A função exponencial e^u pode ser expandida em série de Taylor em torno de u = 0:
e^u = 1 + u + u^22! + u^33! + dots
Aqui, u = x^2 y. Substituindo, temos:
e^x^2 y = 1 + x^2 y + (x^2 y)^22! + (x^2 y)^33! + dots

Passo 4

Agora, multiplicamos essa série por 2 e subtraímos 2:
2 e^x^2 y - 2 = 2 (1 + x^2 y + (x^2 y)^22! + dots ) - 2 = 2 x^2 y + 2 (x^2 y)^22! + dots

Passo 5

Substituindo de volta na expressão original:
2 e^x^2 y - 2x^2 y = 2 x^2 y + 2 (x^2 y)^22! + dotsx^2 y = 2 + 2 x^2 y2! + dots
Quando (x, y) tende a (0, 0), os termos com x^2 y e superiores vão a zero, deixando apenas o 2.

Resposta

O limite é igual a 2.

Exercícios relacionados