Calcule, caso exista; ou caso contrário, justifique a não existência.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem que calcular o limite da função
. Esse exercício está relacionado ao cálculo de limites em funções de múltiplas variáveis, especificamente usando a expansão em séries de Taylor ou propriedades dos limites. Para resolver isso, vamos precisar entender um pouco sobre limites, exponenciais e como eles se comportam quando suas variáveis tendem a certos valores.
Passo 2
Primeiro, vamos analisar a expressão do limite:
. Nosso objetivo é simplificar essa expressão para encontrar o valor do limite. Observamos que tanto o numerador quanto o denominador tendem a zero quando
tende a
, formando uma indeterminação do tipo
. Para resolver isso, podemos usar a expansão da função exponencial.
Passo 3
A função exponencial
pode ser expandida em série de Taylor em torno de
:
Aqui,
. Substituindo, temos:
Passo 4
Agora, multiplicamos essa série por 2 e subtraímos 2:
Passo 5
Substituindo de volta na expressão original:
Quando
tende a
, os termos com
e superiores vão a zero, deixando apenas o 2.
Resposta
O limite é igual a
.