Calcule, caso exista; ou caso contrário, justifique a não existência.
, sendo

Passo 1

Vamos começar entendendo o que a questão está pedindo. Queremos calcular o limite da função quando se aproxima de .
Conteúdo da matéria: Estamos lidando com limites de funções de duas variáveis, que envolvem entender o comportamento da função à medida que as variáveis se aproximam de certos valores.
O que vamos precisar:
  • Conhecimento sobre limites de funções de várias variáveis.
  • Análise das diferentes definições da função dependendo de .
  • Técnicas para avaliar limites que podem não existir ou precisar justificar sua inexistência.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar o ponto para o qual está se aproximando: . Vamos calcular nesse ponto para verificar qual definição de será usada.
Como nesse ponto, pela definição de :

Passo 3

Agora, vamos analisar o denominador da nossa expressão: . No ponto de interesse, já vimos que . Isso significa que estamos enfrentando uma forma indeterminada ao tentar calcular o limite diretamente.
Quando encontramos uma forma indeterminada, precisamos investigar mais a fundo para determinar o comportamento do limite.

Passo 4

Vamos considerar o comportamento de próximo ao ponto . Observe que:
  • Se , então .
  • Se , então .
Dentro de um círculo de raio 1 ( ), a função é definida por uma exponencial com um expoente que tende a conforme se aproxima de 1. Isso significa que tende a 0 quando .

Passo 5

Vamos reescrever a expressão do limite usando a informação que tende a 0 quando :
Como ambas as partes tendem a 0, precisamos analisar o comportamento mais detalhado da função. Observamos que:
O expoente tende a quando , então:
Então, tanto o numerador quanto o denominador tendem a 0, mas precisamos ver a taxa com que isso acontece.

Passo 6

Vamos fazer uma substituição para simplificar a análise. Seja . Então, quando , temos .
Reescrevendo o limite em termos de :
Vamos fazer a substituição , quando , então .
A expressão fica:
Agora, precisamos analisar o limite quando .

Passo 7

Considerando se aproximando de 0 pela esquerda ( ), já que implica :
Vamos analisar o comportamento de quando :
Como está se aproximando de 0 pela esquerda, tende a . Portanto:
E , então o denominador também tende a 0.
Temos novamente uma forma indeterminada , então precisamos analisar mais a fundo.

Passo 8

Vamos utilizar a regra de L’Hôpital para resolver o limite:
Aplicando L’Hôpital, derivamos o numerador e o denominador em relação a :
Derivada do numerador:
Derivada do denominador:
Então, aplicando a regra:
Agora, analisamos esse novo limite.

Passo 9

Analisando :
Novamente, como , , então . E . Temos mais uma vez uma forma .
Aplicamos novamente a regra de L’Hôpital:
Derivada do numerador:
Derivada do denominador:
Então:
Percebe-se que continuamos tendo formas indeterminadas a cada aplicação.

Passo 10

Observando o padrão, cada aplicação da regra de L’Hôpital aumenta a potência de no denominador, mas sempre tende a 0 mais rapidamente. Portanto, independentemente de quantas vezes aplicarmos a regra, o numerador (que envolve ) sempre será negligenciado pelo denominador que vai para 0.
Isso nos leva à conclusão de que o limite:

Resposta

Portanto, o limite existe e é igual a 0.

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