Calcule, caso exista; ou caso contrário, justifique a não existência.
, sendo
Passo 1
Vamos começar entendendo o que a questão está pedindo. Queremos calcular o limite da função
quando
se aproxima de
.
Conteúdo da matéria: Estamos lidando com limites de funções de duas variáveis, que envolvem entender o comportamento da função à medida que as variáveis se aproximam de certos valores.
O que vamos precisar:
- Conhecimento sobre limites de funções de várias variáveis.
- Análise das diferentes definições da função
dependendo de . - Técnicas para avaliar limites que podem não existir ou precisar justificar sua inexistência.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar o ponto para o qual
está se aproximando:
. Vamos calcular
nesse ponto para verificar qual definição de
será usada.
Como
nesse ponto, pela definição de
:
Passo 3
Agora, vamos analisar o denominador da nossa expressão:
. No ponto de interesse, já vimos que
. Isso significa que estamos enfrentando uma forma indeterminada
ao tentar calcular o limite diretamente.
Quando encontramos uma forma indeterminada, precisamos investigar mais a fundo para determinar o comportamento do limite.
Passo 4
Vamos considerar o comportamento de
próximo ao ponto
. Observe que:
- Se
, então . - Se
, então .
Dentro de um círculo de raio 1 (
), a função
é definida por uma exponencial com um expoente que tende a
conforme
se aproxima de 1. Isso significa que
tende a 0 quando
.
Passo 5
Vamos reescrever a expressão do limite usando a informação que
tende a 0 quando
:
Como ambas as partes tendem a 0, precisamos analisar o comportamento mais detalhado da função. Observamos que:
O expoente
tende a
quando
, então:
Então, tanto o numerador quanto o denominador tendem a 0, mas precisamos ver a taxa com que isso acontece.
Passo 6
Vamos fazer uma substituição para simplificar a análise. Seja
. Então, quando
, temos
.
Reescrevendo o limite em termos de
:
Vamos fazer a substituição
, quando
, então
.
A expressão fica:
Agora, precisamos analisar o limite quando
.
Passo 7
Considerando
se aproximando de 0 pela esquerda (
), já que
implica
:
Vamos analisar o comportamento de
quando
:
Como
está se aproximando de 0 pela esquerda,
tende a
. Portanto:
E
, então o denominador também tende a 0.
Temos novamente uma forma indeterminada
, então precisamos analisar mais a fundo.
Passo 8
Vamos utilizar a regra de L’Hôpital para resolver o limite:
Aplicando L’Hôpital, derivamos o numerador e o denominador em relação a
:
Derivada do numerador:
Derivada do denominador:
Então, aplicando a regra:
Agora, analisamos esse novo limite.
Passo 9
Analisando
:
Novamente, como
,
, então
. E
. Temos mais uma vez uma forma
.
Aplicamos novamente a regra de L’Hôpital:
Derivada do numerador:
Derivada do denominador:
Então:
Percebe-se que continuamos tendo formas indeterminadas a cada aplicação.
Passo 10
Observando o padrão, cada aplicação da regra de L’Hôpital aumenta a potência de
no denominador, mas
sempre tende a 0 mais rapidamente. Portanto, independentemente de quantas vezes aplicarmos a regra, o numerador (que envolve
) sempre será negligenciado pelo denominador que vai para 0.
Isso nos leva à conclusão de que o limite:
Resposta
Portanto, o limite existe e é igual a 0.
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Encontre as derivadas parciais das seguintes funções
Calcule, caso exista; ou caso contrário, justifique a não existência.
Verifique que
satisfaz a equação
em seu domínio.
Calcule, caso exista; ou caso contrário, justifique a não existência.