Calcule, caso exista; ou caso contrário, justifique a não existência.
lim (x, y) (raiz2 / 2, raiz2 / 2) f(x, y)x^2+y^2-1, sendo f(x, y)= e^1 /(x^2+y^2-1) & se x^2+y^2<1 0 & se x^2+y^2 >= 1

Passo 1

Vamos começar entendendo o que a questão está pedindo. Queremos calcular o limite da função quando se aproxima de .
Conteúdo da matéria: Estamos lidando com limites de funções de duas variáveis, que envolvem entender o comportamento da função à medida que as variáveis se aproximam de certos valores.
O que vamos precisar:
  • Conhecimento sobre limites de funções de várias variáveis.
  • Análise das diferentes definições da função dependendo de .
  • Técnicas para avaliar limites que podem não existir ou precisar justificar sua inexistência.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar o ponto para o qual (raiz22)^2 + (raiz22)^2 = 24 + 24 = 44 = 1 está se aproximando: f(raiz22, raiz22) = 0 . Vamos calcular nesse ponto para verificar qual definição de será usada.
Como nesse ponto, pela definição de :

Passo 3

Agora, vamos analisar o denominador da nossa expressão: . No ponto de interesse, já vimos que . Isso significa que estamos enfrentando uma forma indeterminada ao tentar calcular o limite diretamente.
Quando encontramos uma forma indeterminada, precisamos investigar mais a fundo para determinar o comportamento do limite.

Passo 4

Vamos considerar o comportamento de próximo ao ponto . Observe que:
  • Se , então .
  • Se , então .
Dentro de um círculo de raio 1 ( ), a função é definida por uma exponencial com um expoente que tende a conforme se aproxima de 1. Isso significa que tende a 0 quando .

Passo 5

Vamos reescrever a expressão do limite usando a informação que lim (x, y) (raiz22, raiz22) f(x, y)x^2+y^2-1 = lim (x, y) (raiz22, raiz22) 00 tende a 0 quando f(x, y) = e^1/(x^2+y^2-1) para x^2 + y^2 < 1 :
e^1/(x^2+y^2-1) to e^-infty = 0
Como ambas as partes tendem a 0, precisamos analisar o comportamento mais detalhado da função. Observamos que:
O expoente tende a quando , então:
Então, tanto o numerador quanto o denominador tendem a 0, mas precisamos ver a taxa com que isso acontece.

Passo 6

Vamos fazer uma substituição para simplificar a análise. Seja limr^2 to 1 e^1/(r^2 - 1)r^2 - 1 . Então, quando limt to 0 e^1/tt , temos .
Reescrevendo o limite em termos de :
Vamos fazer a substituição , quando , então .
A expressão fica:
Agora, precisamos analisar o limite quando .

Passo 7

Considerando limt to 0^- e^1/tt se aproximando de 0 pela esquerda ( e^1/t to e^-infty = 0 ), já que implica :
Vamos analisar o comportamento de quando :
Como está se aproximando de 0 pela esquerda, tende a . Portanto:
E , então o denominador também tende a 0.
Temos novamente uma forma indeterminada , então precisamos analisar mais a fundo.

Passo 8

Vamos utilizar a regra de L’Hôpital para resolver o limite:
limt to 0^- e^1/tt
Aplicando L’Hôpital, derivamos o numerador e o denominador em relação a limt to 0^- -e^1/tt^21 = -limt to 0^- e^1/tt^2 :
Derivada do numerador:
Derivada do denominador:
Então, aplicando a regra:
Agora, analisamos esse novo limite.

Passo 9

Analisando limt to 0^- -e^1/tt^22t = -12 limt to 0^- e^1/tt^3 :
Novamente, como , , então . E . Temos mais uma vez uma forma .
Aplicamos novamente a regra de L’Hôpital:
Derivada do numerador:
Derivada do denominador:
Então:
Percebe-se que continuamos tendo formas indeterminadas a cada aplicação.

Passo 10

Observando o padrão, cada aplicação da regra de L’Hôpital aumenta a potência de limt to 0^- e^1/tt^n = 0 para qualquer n > 0 no denominador, mas sempre tende a 0 mais rapidamente. Portanto, independentemente de quantas vezes aplicarmos a regra, o numerador (que envolve ) sempre será negligenciado pelo denominador que vai para 0.
Isso nos leva à conclusão de que o limite:

Resposta

Portanto, o limite existe e é igual a 0.

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