Seja
.
Determine o domínio e o conjunto imagem de
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão pede para a gente determinar o domínio e o conjunto imagem da função
. Vamos precisar entender o que são domínio e imagem de uma função. O domínio é basicamente todos os valores que as variáveis podem assumir sem que a função dê problema, e o conjunto imagem é todos os possíveis resultados que a função pode produzir.
Passo 2
Primeiro, vamos determinar o domínio da função. Olhando para a expressão
, percebemos que a variável
não aparece na fórmula, o que significa que a função não depende de
de forma alguma. Portanto,
pode ser qualquer número real.
Agora, vamos analisar o denominador
. Sabemos que qualquer número real ao quadrado é sempre positivo ou zero, então
. Assim,
, o que nunca será zero. Isso significa que não há valores de
que façam o denominador ser zero, evitando assim qualquer problema de divisão por zero.
Portanto, o domínio da função é todo o conjunto dos números reais para
e
, ou seja,
.
Passo 3
Agora, vamos encontrar o conjunto imagem da função
. Como
não influencia no resultado, podemos focar apenas em
.
Vamos chamar
. Queremos saber quais valores
pode assumir quando
varia em
.
Para isso, podemos usar cálculo para encontrar os valores máximos e mínimos da função
. Primeiro, calculamos a derivada de
em relação a
:
Igualando a derivada a zero para encontrar os pontos críticos:
Calculando
nesses pontos:
Esses são os valores máximos e mínimos que
pode assumir. Portanto, o conjunto imagem da função é o intervalo fechado de
a
, ou seja,
.
Resposta
O domínio de
é todo
e o conjunto imagem de
é
.
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satisfaz a equação
em seu domínio.
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onde
Calcule, caso exista; ou caso contrário, justifique a não existência.