Seja .
Determine o domínio e o conjunto imagem de

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão pede para a gente determinar o domínio e o conjunto imagem da função . Vamos precisar entender o que são domínio e imagem de uma função. O domínio é basicamente todos os valores que as variáveis podem assumir sem que a função dê problema, e o conjunto imagem é todos os possíveis resultados que a função pode produzir.

Passo 2

Primeiro, vamos determinar o domínio da função. Olhando para a expressão , percebemos que a variável não aparece na fórmula, o que significa que a função não depende de de forma alguma. Portanto, pode ser qualquer número real.
Agora, vamos analisar o denominador . Sabemos que qualquer número real ao quadrado é sempre positivo ou zero, então . Assim, , o que nunca será zero. Isso significa que não há valores de que façam o denominador ser zero, evitando assim qualquer problema de divisão por zero.
Portanto, o domínio da função é todo o conjunto dos números reais para e , ou seja, .

Passo 3

Agora, vamos encontrar o conjunto imagem da função . Como não influencia no resultado, podemos focar apenas em .
Vamos chamar . Queremos saber quais valores pode assumir quando varia em .
Para isso, podemos usar cálculo para encontrar os valores máximos e mínimos da função . Primeiro, calculamos a derivada de em relação a :
Igualando a derivada a zero para encontrar os pontos críticos:
Calculando nesses pontos:
Esses são os valores máximos e mínimos que pode assumir. Portanto, o conjunto imagem da função é o intervalo fechado de a , ou seja, .

Resposta

O domínio de é todo e o conjunto imagem de é .

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Calcule, caso exista; ou caso contrário, justifique a não existência.
Verifique que satisfaz a equação em seu domínio.
Determine o conjunto dos pontos de continuidade. Justifique a resposta.
onde
Calcule, caso exista; ou caso contrário, justifique a não existência.