Verifique que satisfaz a equação em seu domínio.

Passo 1

Beleza, vamos lá! Temos a função e precisamos verificar se ela satisfaz a equação diferencial parcial . Vamos usar conhecimentos de derivadas parciais para resolver isso passo a passo.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular a derivada parcial de em relação a , ou seja, .
A função tem duas partes:
Derivando cada parte em relação a :
  • Para , a derivada é (usando a regra da cadeia).
  • A segunda parte, , não depende de , então sua derivada em relação a é 0.
Portanto:

Passo 3

Agora, vamos calcular a derivada parcial de em relação a , ou seja, .
Derivando cada parte em relação a :
  • Para , a derivada é (novamente usando a regra da cadeia).
  • Para , a derivada é (usando a regra do quociente).
Então:

Passo 4

Vamos agora calcular a derivada parcial de em relação a , ou seja, .
Derivando cada parte em relação a :
  • Para , a derivada é 0, já que não depende de .
  • Para , a derivada é (usando a regra do quociente).
Portanto:

Passo 5

Agora que temos todas as derivadas parciais, vamos substituir na equação dada:
Substituindo as derivadas:
Vamos simplificar passo a passo:
  1. Distribuindo o 5:
  1. Distribuindo o 10x:
  1. Distribuindo o -4xy:
Agora, somando tudo:
Tudo cancela e fica igual a zero.

Resposta

A equação é satisfeita pela função .

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, sendo
Encontre as derivadas parciais das seguintes funções
Calcule, caso exista; ou caso contrário, justifique a não existência.
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Determine o domínio e o conjunto imagem de