Verifique que
satisfaz a equação
em seu domínio.
Passo 1
Beleza, vamos lá! Temos a função
e precisamos verificar se ela satisfaz a equação diferencial parcial
. Vamos usar conhecimentos de derivadas parciais para resolver isso passo a passo.
Passo 2
Primeiro, vamos calcular a derivada parcial de
em relação a
, ou seja,
.
A função
tem duas partes:
Derivando cada parte em relação a
:
- Para
, a derivada é (usando a regra da cadeia). - A segunda parte,
, não depende de , então sua derivada em relação a é 0.
Portanto:
Passo 3
Agora, vamos calcular a derivada parcial de
em relação a
, ou seja,
.
Derivando cada parte em relação a
:
- Para
, a derivada é (novamente usando a regra da cadeia). - Para
, a derivada é (usando a regra do quociente).
Então:
Passo 4
Vamos agora calcular a derivada parcial de
em relação a
, ou seja,
.
Derivando cada parte em relação a
:
- Para
, a derivada é 0, já que não depende de . - Para
, a derivada é (usando a regra do quociente).
Portanto:
Passo 5
Agora que temos todas as derivadas parciais, vamos substituir na equação dada:
Substituindo as derivadas:
Vamos simplificar passo a passo:
- Distribuindo o 5:
- Distribuindo o 10x:
- Distribuindo o -4xy:
Agora, somando tudo:
Tudo cancela e fica igual a zero.
Resposta
A equação
é satisfeita pela função
.
Exercícios relacionados
Calcule, caso exista; ou caso contrário, justifique a não existência.
, sendo
Encontre as derivadas parciais das seguintes funções
Calcule, caso exista; ou caso contrário, justifique a não existência.
Seja
.
Determine o domínio e o conjunto imagem de