Verifique que w=raizx^2-y+1y^2+5 z satisfaz a equação 5 partial wpartial x+10 x partial wpartial y-4 x y partial wpartial z=0 em seu domínio.

Passo 1

Beleza, vamos lá! Temos a função e precisamos verificar se ela satisfaz a equação diferencial parcial . Vamos usar conhecimentos de derivadas parciais para resolver isso passo a passo.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular a derivada parcial de partial wpartial x = xraizx^2 - y em relação a , ou seja, .
A função tem duas partes:
Derivando cada parte em relação a :
  • Para , a derivada é (usando a regra da cadeia).
  • A segunda parte, , não depende de , então sua derivada em relação a é 0.
Portanto:

Passo 3

Agora, vamos calcular a derivada parcial de partial wpartial y = -12raizx^2 - y - 2y(y^2 + 5z)^2 em relação a , ou seja, .
Derivando cada parte em relação a :
  • Para , a derivada é (novamente usando a regra da cadeia).
  • Para , a derivada é (usando a regra do quociente).
Então:

Passo 4

Vamos agora calcular a derivada parcial de partial wpartial z = -5(y^2 + 5z)^2 em relação a , ou seja, .
Derivando cada parte em relação a :
  • Para , a derivada é 0, já que não depende de .
  • Para , a derivada é (usando a regra do quociente).
Portanto:

Passo 5

Agora que temos todas as derivadas parciais, vamos substituir na equação dada:
5 cdot partial wpartial x + 10x cdot partial wpartial y - 4xy cdot partial wpartial z = 0
Substituindo as derivadas:
5 ( xraizx^2 - y ) + 10x ( -12raizx^2 - y - 2y(y^2 + 5z)^2 ) - 4xy ( -5(y^2 + 5z)^2 ) = 0
Vamos simplificar passo a passo:
  1. Distribuindo o 5:
5xraizx^2 - y
  1. Distribuindo o 10x:
- 10x2raizx^2 - y - 20xy(y^2 + 5z)^2
  1. Distribuindo o -4xy:
+ 20xy(y^2 + 5z)^2
Agora, somando tudo:
5xraizx^2 - y - 5xraizx^2 - y - 20xy(y^2 + 5z)^2 + 20xy(y^2 + 5z)^2 = 0
Tudo cancela e fica igual a zero.

Resposta

A equação é satisfeita pela função .

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