Determine o conjunto dos pontos de continuidade. Justifique a resposta.
onde

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão pede para a gente descobrir onde a função é contínua. A função está definida de dois jeitos diferentes, dependendo do valor de , que é a distância do ponto até a origem. Para resolver isso, vamos lembrar sobre continuidade de funções de duas variáveis e verificar onde essa função muda de comportamento.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a função :
Aqui, representa a distância do ponto à origem.

Passo 3

Sabemos que uma função é contínua em um ponto se os limites nas vizinhanças desse ponto forem iguais ao valor da função nesse ponto. Então, vamos verificar onde a função muda de valor, ou seja, na “fronteira” onde .

Passo 4

Para , a função é constante e igual a . Funções constantes são contínuas em todo lugar, então nessa região não tem problema.

Passo 5

Para , a função é zero, que também é uma função constante e, portanto, contínua nessa região.

Passo 6

O ponto crítico é quando . Precisamos verificar se a função é contínua nesse limite. Vamos ver se o limite de quando se aproxima de 1 é igual ao valor da função nesse ponto.

Passo 7

Quando se aproxima de 1 por valores menores que 1, tende a . Já quando se aproxima de 1 por valores maiores ou iguais a 1, é sempre 0.

Passo 8

Como os limites laterais quando se aproxima de 1 não são iguais ( ), a função não é contínua em .

Resposta

O conjunto dos pontos de continuidade de é todo o plano exceto os pontos onde . Ou seja, é contínua para todos os pontos com .

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