Determine o conjunto dos pontos de continuidade. Justifique a resposta.
onde
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão pede para a gente descobrir onde a função
é contínua. A função está definida de dois jeitos diferentes, dependendo do valor de
, que é a distância do ponto
até a origem. Para resolver isso, vamos lembrar sobre continuidade de funções de duas variáveis e verificar onde essa função muda de comportamento.
Passo 2
Primeiro, vamos entender a função
:
Aqui,
representa a distância do ponto
à origem.
Passo 3
Sabemos que uma função é contínua em um ponto se os limites nas vizinhanças desse ponto forem iguais ao valor da função nesse ponto. Então, vamos verificar onde a função muda de valor, ou seja, na “fronteira” onde
.
Passo 4
Para
, a função é constante e igual a
. Funções constantes são contínuas em todo lugar, então nessa região não tem problema.
Passo 5
Para
, a função é zero, que também é uma função constante e, portanto, contínua nessa região.
Passo 6
O ponto crítico é quando
. Precisamos verificar se a função é contínua nesse limite. Vamos ver se o limite de
quando
se aproxima de 1 é igual ao valor da função nesse ponto.
Passo 7
Quando
se aproxima de 1 por valores menores que 1,
tende a
. Já quando
se aproxima de 1 por valores maiores ou iguais a 1,
é sempre 0.
Passo 8
Como os limites laterais quando
se aproxima de 1 não são iguais (
), a função não é contínua em
.
Resposta
O conjunto dos pontos de continuidade de
é todo o plano
exceto os pontos onde
. Ou seja,
é contínua para todos os pontos com
.
Exercícios relacionados
Seja
.
Determine o domínio e o conjunto imagem de
Calcule, caso exista; ou caso contrário, justifique a não existência.
Calcule, caso exista; ou caso contrário, justifique a não existência.
Calcule, caso exista; ou caso contrário, justifique a não existência.