Calcule, caso exista; ou caso contrário, justifique a não existência.
lim x y^2x^2-y^2
(x, y) (1,2)

Passo 1

Resumo da Questão e Conteúdo:
Estamos querendo calcular o limite da função x y^2x^2-y^2 quando (x, y) se aproxima de (1, 2). Isso envolve conceitos de limites em funções de várias variáveis. Para resolver, vamos analisar o comportamento tanto do numerador quanto do denominador conforme (x, y) se aproxima do ponto dado.

Passo 2

Analisando o Numerador:
Vamos primeiro observar o numerador da função, que é x y^2. Conforme (x, y) (1, 2):
  • x 1
  • y^2 2^2 = 4
Portanto, o numerador se aproxima de 1 times 4 = 4.

Passo 3

Analisando o Denominador:
Agora, vamos analisar o denominador, que é x^2 - y^2. Conforme (x, y) (1, 2):
  • x^2 1^2 = 1
  • y^2 2^2 = 4
Então, o denominador se aproxima de 1 - 4 = -3.

Passo 4

Calculando o Limite:
Com os valores do numerador e denominador aproximando-se de 4 e -3, respectivamente, podemos calcular o limite da função como:
lim(x,y) to (1,2) x y^2x^2-y^2 = 4-3 = -43

Resposta

O limite é -dfrac43.

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